Donc
Or, posant
donc
et
donc
![{\displaystyle u_{z}={\frac {a^{q^{z-1}}}{m^{{\frac {1}{q-1}}\left(q^{z}-q\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cff584c6eb144f290a463b8a42fa6aaf94f2b28)
Cette expression de
est complète, puisque
est arbitraire ; maintenant l’équation
![{\displaystyle f(x^{q})=f(mx)+p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f172d871d044a59b09ed235d82a833f682b2387b)
deviendra
![{\displaystyle y_{z+1}=y_{z}+p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac778b4e56e16892affdcfbe8540e4bed3ecb8ef)
Donc
![{\displaystyle y_{z}=\mathrm {C} +pz=f(mx).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41337a04d6ba026a5db8593aa74b1f50ec2044a5)
Il faut présentement avoir la valeur de
en
or, puisqu’on a
on aura
![{\displaystyle mx=frac{a^{q^{z-1}}}{m^{{\frac {1}{q-1}}\left(q^{z}-q\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efccedd492e1095e8eb53fcd211cb815d81f5dd)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \operatorname {l} mx=q^{z}{\frac {\operatorname {l} a}{q}}-{\frac {1}{q-1}}(q^{z}-q)\operatorname {l} m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bfeb12e49dae31d67f8e80c620ec89f79b3637c)
ou
![{\displaystyle q^{z}\left({\frac {\operatorname {l} a}{q}}-{\frac {\operatorname {l} m}{q-1}}\right)=\operatorname {l} {\frac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538e4d9d2a94acfa38f7757dfac20a986e742e56)
soit
et l’on trouvera
![{\displaystyle z={\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}-{\frac {\operatorname {l} \mathrm {K} }{\operatorname {l} q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b2fe30a55cf3ea01afc45c5dd0a59195c6fe14)
partant
![{\displaystyle y_{z}=\mathrm {A} +p{\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f3c59c1b61e1ad0d8c5ab2c29f3894c12f2234)
étant une constante arbitraire qui peut être une fonction quelconque de
et de
Soit
cette fonction ; en