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$f_{z+1}=qf_{z}+q.$ Donc $f_{z}=\mathrm {A} q^{z}+{\frac {q}{1-q}}.$ Or, posant $z=2,\ f_{z}=q\,;$ donc $\mathrm {A} ={\frac {1}{q-1}}$ et $f_{z}={\frac {1}{q-1}}\left(q^{z}-q\right)\,;$ donc

$u_{z}={\frac {a^{q^{z-1}}}{m^{{\frac {1}{q-1}}\left(q^{z}-q\right)}}}.$

Cette expression de $u_{z}$ est complète, puisque $a$ est arbitraire ; maintenant l’équation

$f(x^{q})=f(mx)+p$

deviendra

$y_{z+1}=y_{z}+p.$

Donc

$y_{z}=\mathrm {C} +pz=f(mx).$

Il faut présentement avoir la valeur de $x\,;$ en $x\,;$ or, puisqu’on a $u_{z}=mx,$ on aura

$mx=frac{a^{q^{z-1}}}{m^{{\frac {1}{q-1}}\left(q^{z}-q\right)}},$

d’où l’on tire

$\operatorname {l} mx=q^{z}{\frac {\operatorname {l} a}{q}}-{\frac {1}{q-1}}(q^{z}-q)\operatorname {l} m$

ou

$q^{z}\left({\frac {\operatorname {l} a}{q}}-{\frac {\operatorname {l} m}{q-1}}\right)=\operatorname {l} {\frac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}\,;$

soit ${\frac {\operatorname {l} a}{q}}-{\frac {\operatorname {l} m}{q-1}}=\mathrm {K} ,$ et l’on trouvera

$z={\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}-{\frac {\operatorname {l} \mathrm {K} }{\operatorname {l} q}},$

partant

$y_{z}=\mathrm {A} +p{\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire qui peut être une fonction quelconque de $\sin 2\pi z$ et de $\cos 2\pi z.$ Soit $\Gamma (\sin 2\pi z,\cos 2\pi z)$ cette fonction ; en