l’équation
deviendra donc, en supposant
![{\displaystyle y_{z+1}=\mathrm {L} _{z}y_{z}+\mathrm {Z} _{z},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0993dac4f06d1446c6875d6bff9cf9bc0bcd5c)
équation intégrale par le Problème I.
On doit observer ici, conformément à une remarque due à M. Euler, que les constantes qui viennent en intégrant les équations finies différentielles dont la variable est
et dont la différence constante est l’unité, peuvent être supposées des fonctions quelconques de
et de
exprimant le rapport de la circonférence au diamètre.
Présentement, si l’on remet dans l’expression de
au lieu de
sa valeur en
on aura
et, si l’on change
en
on aura la fonction de
qui satisfait au Problème. Les exemples suivants éclairciront cette méthode :
Il s’agit de trouver une fonction de
telle qu’en y changeant successivement
en
et en
on ait
![{\displaystyle f\left(x^{q}\right)=f(mx)+p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b100ff7b3385ff20707b0f63f0489b42ff2a0f1e)
et
étant constants.
Je fais
et
partant,
![{\displaystyle u_{z+1}=\left({\frac {u_{z}}{m}}\right)^{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c483aa21f6fa73661d5e06771962ca4633998ab6)
Pour intégrer cette équation, je fais
donc ![{\displaystyle u_{2}={\frac {a^{q}}{m^{q}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f305d23ef785f14f5101ec091f852b1ed3f512)
Soit
donc
![{\displaystyle u_{z+1}={\frac {a^{qg_{z}}}{m^{qf_{z}+q}}}={\frac {a^{g_{z+1}}}{m^{f_{z+1}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892bb7a4d1409cec1df032d6fc0c89657b587e01)
Donc
![{\displaystyle g_{z+1}=qg_{z},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83fc5bebb6dc632dd52c66d96d287457a98ef9e)
ce qui donne
![{\displaystyle g_{z}=\mathrm {A} q^{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce066b8fc4d36eec548525235d2997fbc0629cc4)
Or, posant
d’où
on a
De plus, on a