la seconde donne
![{\displaystyle \mathrm {B} _{n}=1.2.3\ldots n(n+1)(n+2)\left[\mathrm {H} +\sum {\frac {n}{(n+1)(n+2)(n+3)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb1222f3ca18e35f81177d19c080e5a89662a7c)
ou
![{\displaystyle \mathrm {B} _{n}=1.2.3\ldots n(n+1)(n+2)\left[\mathrm {Q} +{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}-{\frac {1}{n+2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330d07c6ba6999d98ec9539d1f09482cf977aab8)
On déterminera la constante
par cette condition que
soit zéro lorsque
on a donc
Donc
![{\displaystyle \mathrm {B} _{n}=1.2.3\ldots n{\frac {1}{2}}\,{\frac {n(n-1)}{1.2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21db7fbb480532c90ee61489bd36707d06f1525d)
La troisième équation donne, en intégrant et ajoutant les constantes convenables,
![{\displaystyle \mathrm {C} _{n}=1.2.3\ldots n{\frac {1.3}{2.4}}\,{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c39ff33b6eb6b9d96888009e108c55c2d7e19d0)
on trouvera pareillement
![{\displaystyle \mathrm {D} _{n}=1.2.3\ldots n{\frac {1.3.5}{2.4.6}}\,{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{1.2.3.4.5.6}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732fd4e005ba3a7ff3f8e805eec89d397b2f0ce4)
et ainsi de suite. Partant,
![{\displaystyle {\frac {d^{n}z}{dx^{n}}}={\frac {1.2.3\ldots (n-1)}{\left(1-x^{2}\right)^{n-{\frac {1}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1b277b120840382e5f38f99292cba8d8752722)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\times &\left[x^{n-1}+{\frac {1}{2}}{\frac {(n-1)(n-2)}{1.2}}x^{n-3}\right.\\&+{\frac {1.3}{2.4}}\,{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{1.2.3.4}}x^{n-5}\\&+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}\,{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{1.2.3.4.5.6}}x^{n-7}\\&+{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8}}\,{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-8)}{1.2.3\ldots 8}}x^{n-9}\\&\left.+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e49ba8ee4003080b0755c79dd0805330b4907fb)
J’ai supposé, dans les deux exemples précédents, la loi des exposants connue, parce qu’elle était très facile à apercevoir ; mais, s’il arrivait qu’elle fût compliquée, ce qui doit être extrêmement rare, on pourra la déterminer par la méthode précédente.