stant. Pour cela, soit
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}\ \ =&{\frac {x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\\{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=&{\frac {2x^{2}+1}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}},\\{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}=&{\frac {6x^{3}+9x}{\left(1-x^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dbe07ad31e31e5bbb78e3897c8cbbbca20eafc)
Il est aisé de voir, en considérant la loi de ces expressions de
que l’expression générale de
a la forme suivante
![{\displaystyle {\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}={\frac {\mathrm {A} _{n}x^{n}+\mathrm {B} _{n}x^{n-2}+\mathrm {C} _{n}x^{n-4}+\mathrm {D} _{n}x^{n-6}+\ldots }{\left(1-x^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b88ec2577d6e09a23b756894621701a9f559b8)
en différenciant cette expression, on a
![{\displaystyle {\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4712e5784318b9bf0692327883c797d9493f1b52)
![{\displaystyle {\frac {\begin{array}{r|r|r|r}(n+1)\mathrm {A} _{n}x^{n+1}+(n+3)\mathrm {B} _{n}&x^{n-1}+(n+5)\mathrm {C} _{n}&x^{n-3}+(n+7)\mathrm {D} _{n}&x^{n-5}+\ldots \\+n\mathrm {A} _{n}\qquad \ \ &+(n-2)\mathrm {B} _{n}&+(n-4)\mathrm {C} _{n}&+\ldots \end{array}}{\left(1-x^{2}\right)^{n+{\frac {3}{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d77549c2741e3b1a417078b1f9779b395ef84a)
mais on a
![{\displaystyle {\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}}={\frac {\mathrm {A} _{n+1}x^{n+1}+\mathrm {B} _{n+1}x^{n-1}+\mathrm {C} _{n+1}x^{n-3}+\mathrm {D} _{n+1}x^{n-5}+\ldots }{\left(1-x^{2}\right)^{n+{\frac {3}{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00be9e69df95e092108b589eaad947de726d589)
en comparant ces deux expressions de
on aura les équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{n+1}=&(n+1)\mathrm {A} _{n},\\\mathrm {B} _{n+1}=&(n+3)\mathrm {B} _{n}+n\mathrm {A} _{n},\\\mathrm {C} _{n+1}=&(n+5)\mathrm {C} _{n}+(n-2)\mathrm {B} _{n},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65047ed116230a531f152bfcee2b9d833ffa754a)
Toutes ces équations commencent à exister à la fois et lorsque
cela posé, la première donne
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}=1.2.3\ldots n\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86813a38557c44335bfcc1a9689426f3366c3f93)