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XII.

Présentement voici un usage fort étendu du Calcul intégral aux différences finies, pour déterminer directement l’expression générale des quantités assujetties à une certaine loi qui sert à les former, expression que jusqu’ici il me semble que l’on a toujours cherché à tirer par voie d’induction, méthode non seulement indirecte, mais qui, de plus, doit être souvent en défaut.

Pour me faire mieux entendre, je prends l’exemple suivant :

Soient $x$ le sinus d’un angle $z$ et $u$ son cosinus ; on a généralement, comme l’on sait,

$\sin z=2usin(n-1)z-sin(n-2)z,$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\sin \ \ z=&x,\\\sin 2z=&x(\ \ 2u),\\\sin 3z=&x\left(\ \ 4u^{2}-1\right),\\\sin 4z=&x\left(\ \ 8u^{3}-4u\right),\\\sin 5z=&x\left(16u^{4}-12u^{2}+1\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Il faut maintenant déterminer l’expression générale de $\sin nz.$

On peut y parvenir par voie d’induction, en continuant plus loin ces expressions et cherchant à découvrir la loi des différents coefficients des puissances de $u\,;$ mais il arrivera, si ce n’est pas dans cet exemple, au moins dans une infinité d’autres, que cette loi sera très compliquée et très difficile à saisir : il importe conséquemment d’avoir une méthode générale et sûre pour la trouver dans tous les cas possibles.

Soit, pour cela, l’équation différentielle

$(\nabla )\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}y_{n}&=y_{n-1}\left(\ a_{n}u+b_{n}\right)\\&+y_{n-2}\left(^{1}\!a_{n}u^{2}+^{1}\!b_{n}u+^{1}\!c_{n}\right)\\&+y_{n-3}\left(^{2}\!a_{n}u^{3}+^{2}\!b_{n}u^{2}+^{2}\!c_{n}u+^{2}\!f_{n}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$