Si l’on nomme
le terme général d’une suite récurrente, telle que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{x}=\mathrm {CY} _{x-1}+^{1}\!\mathrm {CY} _{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {CY} _{x-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6cd35cfae0a7912dc6e60494fb37e86812a521)
le terme général d’une suite telle que l’on ait
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {C} \varphi _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {C} \varphi _{x}\varphi _{x-1}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {C} \varphi _{x}\ldots \varphi _{x-n+1}y_{x-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cca4e9122c5a7da2d38dd26dd31f686ee2baa16)
et dans laquelle les constantes arbitraires qui viennent en intégrant sont les mêmes que dans la précédente, sera
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}\mathrm {Y} _{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0ec3c21d851bf7385d1f55c4ec66c1e5f8ca83)
C’est ce dont il est facile de s’assurer d’ailleurs ; car, si l’on substitue cette valeur de
dans l’équation
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {C} \varphi _{x}y_{x-1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7db6dfc564ababb8596c473d8a94a2ee4875b4a)
on aura
![{\displaystyle \varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}\mathrm {Y} _{x}=\mathrm {C} \varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}\mathrm {Y} _{x-1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d015930d5394755f22e4fa25795972f2544b550a)
partant
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{x}=\mathrm {CY} _{x-1}+^{1}\!\mathrm {CY} _{x-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1601c15e470a89e1bde78d0968ec99405ffa3d)
équation qui a lieu par la supposition.
X.
Lorsqu’on a, par l’article précédent, l’intégrale de l’équation
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {C} \varphi _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {C} \varphi _{x}\varphi _{x-1}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {C} \varphi _{x}\ldots \varphi _{x-n+1}y_{x-n}+\mathrm {X} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b2ff965456e6e0f3a93b64705586bdfa890006)
en y supposant
il est facile de conclure cette même intégrale,
étant quelconque. Pour cela, j’observe que, puisque,
étant nul, on a
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}\left(\mathrm {A} p^{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{x}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eabe706ca6168aa77f13c6ddf41c86f11303ce9a)
on aura, par l’Article V,
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}=&\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{x}\ p^{x},\\^{1}\!u_{x}=&\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{x}\,^{1}\!p^{x},\\^{2}\!u_{x}=&\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{x}\,^{2}\!p^{x},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a01e7a3c63f5630d7e7abe7da65d754076bcfa5)