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L’équation (E) de l’Article IV devient dans ce cas

(E’)

$0=1-{\frac {\mathrm {C} \varphi _{x}}{\alpha _{x}}}-{\frac {^{1}\!\mathrm {C} \varphi _{x}\varphi _{x-1}}{\alpha _{x}\alpha _{x-1}}}-\ldots -{\frac {^{n-1}\!\mathrm {C} \varphi _{x}\ldots \varphi _{x-n+1}}{\alpha _{x}\ldots \alpha _{x-n+1}}}.$

Or (Art. VI), il suffit pour intégrer l’équation (B’) de connaître un nombre $n$ de valeurs pour $\alpha _{x}\,;$ dans l’équation (E’). Soit donc $\alpha _{x}=a\varphi _{x},\ a$ étant constant, et l’équation (E’) donnera

$(h)\qquad \qquad a^{n}=\mathrm {C} a^{n-1}+^{1}\!\mathrm {C} a^{n-2}+^{2}\!\mathrm {C} a^{n-3}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {C} \,;$

d’où l’on aura un nombre $n$ de valeurs pour $a,$ et par conséquent pour $\alpha _{x},$ puisque $\alpha _{x}=a\varphi _{x}.$

Soient $p,^{1}\!p,^{2}\!p,\ldots ,^{n-1}\!p$ les différentes valeurs de $a$ dans l’équation $(h).$ On aura (Art. IV)

$\delta _{x}=p\varphi _{x},\quad ^{1}\!\delta _{x}=^{1}\!p\varphi _{x},\quad ^{2}\!\delta _{x}=^{2}\!p\varphi _{x},\quad \ldots .$

Or on a (Art. V)

${\begin{aligned}u_{x}=&\nabla \ \delta _{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{x}p^{x},\\^{1}\!u_{x}=&\nabla ^{1}\!\delta _{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{x}\,^{1}\!p^{x},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

L’intégrale complète de l’équation (B’) est donc

$y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{x}\left(\mathrm {A} p^{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{x}\right).$

On déterminera les constantes arbitraires $\mathrm {A,^{1}\!A,^{2}\!A} ,\ldots$ au moyen de $n$ valeurs de $y_{x},$ dans autant de suppositions particulières pour $x$. Soient

$y_{1}=\mathrm {M} ,\quad y_{2}=^{1}\!\mathrm {M} ,\quad y_{3}=^{2}\!\mathrm {M} ,\quad \ldots ,\quad y_{n}=^{n-1}\!\mathrm {M} \,;$

et l’on aura

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {M} }{\varphi _{1}}}=&\mathrm {A} p\ \ +^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p\ \ +^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p\ \ +\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p,\\{\frac {^{1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}}}=&\mathrm {A} p^{2}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{2}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{2},\\{\frac {^{2}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}}}=&\mathrm {A} p^{3}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{3}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{3}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {^{n-1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{n}}}=&\mathrm {A} p^{n}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{n}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{n}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{n}.\end{aligned}}$