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On trouvera pareillement

${\begin{aligned}y_{x}=&u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+3}}{z_{x+3}}}\right)\\+&^{1}\!u_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+3}}{^{1}\!z_{x+3}}}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on parvienne à cette dernière équation inclusivement,

${\begin{aligned}y_{x}=&u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n}}{z_{x+n}}}\right)\\+&^{1}\!u_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n}}{^{1}\!z_{x+n}}}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Toutes ces équations étant l’intégrale complète de l’équation (B) sont identiquement les mêmes ; en les comparant ensemble, on formera les équations suivantes :

${\begin{aligned}{\frac {u_{x}}{z_{x+1}}}\quad +{\frac {^{1}\!u_{x}}{^{1}\!z_{x+1}}}\quad +\ldots +{\frac {^{n-1}\!u_{x}}{^{n-1}\!z_{x+1}}}\quad &=0,\\{\frac {u_{x}}{z_{x+2}}}\quad +{\frac {^{1}\!u_{x}}{^{1}\!z_{x+2}}}\quad +\ldots +{\frac {^{n-1}\!u_{x}}{^{n-1}\!z_{x+2}}}\quad &=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\{\frac {u_{x}}{z_{x+n-1}}}+{\frac {^{1}\!u_{x}}{^{1}\!z_{x+n-1}}}+\ldots +{\frac {^{n-1}\!u_{x}}{^{n-1}\!z_{x+n-1}}}&=0.\end{aligned}}$

IX.

L’intégration de l’équation (B) du Problème II étant réduite à l’intégration de cette même équation lorsque $\mathrm {X} _{x}=0,$ il ne s’agit plus pour résoudre le problème que d’intégrer celle-ci, mais cela paraît très difficile en général ; ainsi je me bornerai aux cas particuliers. En voici un fort étendu, dans lequel l’intégration réussit, et qui embrasse tous les cas déjà connus ; c’est celui dans lequel on a

(B’)

$y_{x}=\mathrm {C} \varphi _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {C} \varphi _{x}\varphi _{x-1}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {C} \varphi _{x}\varphi _{x-1}\ldots \varphi _{x-n+1}y_{x-n}.$

Si $\varphi _{x}=1,$ on aura l’équation des suites récurrentes.