On a vu que le rayon vecteur d’un corps sollicité par une force dirigée vers un point fixe décrit des aires proportionnelles aux temps. Si l’on suppose un système de corps agissant les uns sur les autres d’une manière quelconque et sollicités par une force dirigée vers un point fixe, si de ce point on mène à chacun d’eux des rayons vecteurs, que l’on projette sur un plan invariable passant par ce point, la somme des produits de la masse de chaque corps par l’aire que trace la projection de son rayon vecteur est proportionnelle au temps. C’est en cela que consiste le principe de la conservation des aires.
S’il n’y a pas de point fixe vers lequel le système soit attiré et qu’il ne soit soumis qu’à l’action mutuelle de ses parties, on peut prendre alors tel point que l’on veut pour origine des rayons vecteurs.
Le produit de la masse d’un corps par l’aire que décrit la projection de son rayon vecteur pendant une unité de temps est égal à la projection de la force entière de ce corps multipliée par la perpendiculaire abaissée du point fixe sur la direction de la force ainsi projetée ; ce dernier produit est le moment de la force pour faire tourner le système autour de l’axe qui, passant par le point fixe, est perpendiculaire au plan de projection ; le principe de la conservation des aires revient donc à ce que la somme des moments des forces finies pour faire tourner le système autour d’un axe quelconque, passant par le point fixe, somme qui dans l’état d’équilibre est nulle, est constante dans l’état de mouvement. Présenté de cette manière, ce principe convient à toutes les lois possibles entre la force et la vitesse.
On nomme force vive d’un système la somme des produits de la masse de chaque corps par le carré de sa vitesse. Lorsqu’un corps se meut sur une courbe ou sur une surface sans éprouver d’action étrangère, sa force vive est toujours la même, puisque sa vitesse est constante. Si les corps d’un système n’éprouvent d’autres actions que leurs tractions et pressions mutuelles, soit immédiatement, soit par l’entremise de verges et de fils inextensibles et sans ressort, la force vive du système est constante, dans le cas même où plusieurs de ces corps sont astreints à se mouvoir sur des lignes ou sur des surfaces courbes. Ce principe,
