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Les équations entre $l,l',\ldots$ du n^o 9 donneront donc les suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d(\gamma _{1}\sin {\text{⅂}}_{1})}{dt}}=&-\left[(0)+{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}+(0,\ 1)+(0,\ 2)+(0,\ 3)\right]\gamma _{1}\cos {\text{⅂}}_{1}\\&-(0)\theta \cos \Psi +{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}\gamma \cos {\text{⅂}}\\&+(0,\ 1)\gamma '_{1}\cos {\text{⅂}}'_{1}+(0,\ 2)\gamma ''_{1}\cos {\text{⅂}}''_{1}+(0,\ 3)\gamma '''_{1}\cos {\text{⅂}}'''_{1},\\\\{\frac {d(\gamma _{1}\cos {\text{⅂}}_{1})}{dt}}=&\quad \left[(0)+{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}+(0,\ 1)+(0,\ 2)+(0,\ 3)\right]\gamma _{1}\sin {\text{⅂}}_{1}\\&-(0)\theta \sin \Psi -{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}\gamma \sin {\text{⅂}}\\&-(0,\ 1)\gamma '_{1}\sin {\text{⅂}}'_{1}-(0,\ 2)\gamma ''_{1}\sin {\text{⅂}}''_{1}-(0,\ 3)\gamma '''_{1}\sin {\text{⅂}}'''_{1}.\end{aligned}}$

En substituant ces valeurs de $d(e\sin \varpi ),d(e\cos \varpi ),d(\gamma _{1}\sin {\text{⅂}}_{1}),$ $d(\gamma _{1}\cos {\text{⅂}}_{1})$ dans l’expression précédente de $an\operatorname {d} {\rm {R,}}$ on trouve qu’elle se réduit à zéro.

Reprenons maintenant l’équation (2) du n^o 2, ou plutôt sa différentielle, d’où nous l’avons tirée dans le n^o 46 du Livre II,

${\frac {d\partial v_{1}}{dt}}={\frac {{\frac {d(2rd\partial r+dr\partial r)}{a^{2}ndt^{2}}}+{\frac {3an}{\mu }}\int \operatorname {d} {\rm {R}}+{\frac {2an}{\mu }}r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}.$

On peut ici faire abstraction du diviseur ${\sqrt {1-e^{2}}},$ et le supposer égal à l’unité. À la vérité, si le numérateur renfermait une constante $g,$ elle produirait dans ${\frac {d\partial v_{1}}{dt}}$ le terme ${\frac {1}{2}}ge^{2},$ à raison de ce diviseur développé en série, et il serait nécessaire de conserver ce terme. Mais la constante $g$ produirait dans $\partial v_{1}$ le terme $gt,$ et alors $nt$ ne serait plus le moyen mouvement de $m,$ ce qui est contraire à nos suppositions ; il faut donc que la constante $g$ soit nulle, ce que l’on peut toujours faire, en ajoutant une constante convenable à l’intégrale $\int \operatorname {d} {\rm {R}}.$

Si l’on n’a égard qu’aux inégalités séculaires de $e$ et de $\varpi ,$ on a

$r=a\left[1-e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\right],$

$\partial r=-at\left[{\frac {de}{dt}}\cos(nt+\varepsilon -\varpi )+e{\frac {d\varpi }{dt}}\sin(nt+\varepsilon -\varpi )\right],$

ce qui donne, en ne conservant que les termes multipliés par $t$ sans sinus et cosinus de $nt,$ et négligeant les différences ${\frac {d^{2}e}{dt^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}\varpi }{dt^{2}}}$ qui sont