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de $g,$ et $h$ sera une constante arbitraire. Soient ${\text{ϐ}}'_{1},{\text{ϐ}}''_{1},{\text{ϐ}}'''_{1}$ les valeurs de ${\text{ϐ}}',{\text{ϐ}}'',{\text{ϐ}}'''$ relatives à la racine $g_{1},$ et $h_{1}$ une seconde arbitraire ; soient ${\text{ϐ}}'_{2},{\text{ϐ}}''_{2},{\text{ϐ}}'''_{2}$ ces mêmes valeurs relatives à la racine $g_{2},$ et $h_{2}$ une troisième arbitraire ; soient enfin ${\text{ϐ}}'_{3},{\text{ϐ}}''_{3},{\text{ϐ}}'''_{3}$ les mêmes valeurs relatives à la racine $g_{3},$ et $h_{3}$ une quatrième arbitraire ; on aura, par la nature des équations différentielles linéaires,

${\begin{aligned}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}&=h\ \cos(nt+\varepsilon -gt\ \ -\Gamma \,\ )+h_{1}\cos(nt+\varepsilon -g_{1}t-\Gamma _{1})\\&+h_{2}\cos(nt+\varepsilon -g_{2}t-\Gamma _{2})+h_{3}\cos(nt+\varepsilon -g_{3}t-\Gamma _{3}),\\\\{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}&={\text{ϐ}}'h\ \cos(n't+\varepsilon '-gt\ \ -\Gamma \,\ )+{\text{ϐ}}'_{1}h_{1}\cos(n't+\varepsilon '-g_{1}t-\Gamma _{1})\\&+{\text{ϐ}}'_{2}h_{2}\cos(n't+\varepsilon '-g_{2}t-\Gamma _{2})+{\text{ϐ}}'_{3}h_{3}\cos(n't+\varepsilon '-g_{3}t-\Gamma _{3}),\\\\{\frac {r''\delta r''}{a''^{2}}}&={\text{ϐ}}''h\ \cos(n''t+\varepsilon ''-gt\ \ -\Gamma \,\ )+{\text{ϐ}}''_{1}h_{1}\cos(n''t+\varepsilon ''-g_{1}t-\Gamma _{1})\\&+{\text{ϐ}}''_{2}h_{2}\cos(n''t+\varepsilon ''-g_{2}t-\Gamma _{2})+{\text{ϐ}}''_{3}h_{3}\cos(n''t+\varepsilon ''-g_{3}t-\Gamma _{3}),\\\\{\frac {r'''\delta r'''}{a'''^{2}}}&={\text{ϐ}}'''h\ \cos(n'''t+\varepsilon '''-gt\ \ -\Gamma \,\ )+{\text{ϐ}}'''_{1}h_{1}\cos(n'''t+\varepsilon '''-g_{1}t-\Gamma _{1})\\&+{\text{ϐ}}'''_{2}h_{2}\cos(n'''t+\varepsilon '''-g_{2}t-\Gamma _{2})+{\text{ϐ}}'''_{3}h_{3}\cos(n'''t+\varepsilon '''-g_{3}t-\Gamma _{3}),\end{aligned}}$

$\Gamma ,\Gamma _{1},\Gamma _{2}$ et $\Gamma _{3}$ étant quatre arbitraires. Ces expressions sont complètes, puisqu’elles renferment huit arbitraires, c’est-à-dire deux fois autant d’arbitraires qu’il y a d’équations différentielles du second ordre en $r\delta r,r'\delta r',r''\delta r''$ et $r'''\delta r'''.$

Ces arbitraires remplacent les éléments du mouvement elliptique des satellites. Si l’on considère leurs orbites comme autant d’ellipses dont les excentricités et les positions des apsides sont variables, en nommant $ae$ l’excentricité du premier satellite, et $\varpi$ la longitude de son périjove comptée de l’axe où l’on fixe l’origine des angles, on aura

${\frac {r\delta r}{a^{2}}}=-e\cos(nt+\varepsilon -\varpi ),$

ce qui donne, en comparant cette expression à la précédente,

${\begin{aligned}e\cos \varpi =&-h\cos(gt+\Gamma )-h_{1}\cos(g_{1}t+\Gamma _{1})-\ldots ,\\e\sin \varpi =&-h\sin(gt+\Gamma )-h_{1}\sin(g_{1}t+\Gamma _{1})-\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire facilement $e$ et $\varpi .$ On aura de la même manière $e',\varpi ',\ldots .$