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l’équation précédente devient ainsi

${\frac {d\varpi }{du}}\cos \varpi +{\frac {1}{u}}\sin \varpi =2\alpha +{\frac {2}{b}}-2\alpha z'\,;$

en multipliant les termes de cette équation par $-du\operatorname {tang} \varpi$ ou par $dz',$ on aura

$-d\varpi \sin \varpi +{\frac {dz'}{u}}\sin \varpi =2\alpha qdz'+{\frac {2}{b}}dz'-2\alpha z'dz',$

et, en intégrant,

$\cos \varpi +\int {\frac {dz'\sin \varpi }{u}}=\left(2\alpha q+{\frac {2}{b}}\right)z'-\alpha z'^{2}+$const.

Pour déterminer la constante, nommons $\varpi '$ ce que devient $\varpi$ lorsque $z'$ est nul ; $\varpi '$ sera l’angle obtus formé par la surface de la goutte avec le plan. En faisant commencer l’intégrale de l’équation précédente avec $z',$ on aura const.$=\cos \varpi '.$ Nous négligerons d’abord cette intégrale et le terme ${\frac {2}{b}}z'\,;$ nous aurons ainsi

$\cos \varpi =2\alpha qz'-\alpha z'^{2}+\cos \varpi '.$

Nous pouvons, dans une première approximation, supposer $z'=q,$ lorsque la tangente est horizontale ou lorsque $\cos \varpi =1\,;$ nous aurons ainsi

$1-\cos \varpi '=\alpha q^{2},$

ou

$q={\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\sin {\frac {1}{2}}\varpi '\,;$

partant,

$q-z'={\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\sin {\frac {1}{2}}\varpi =z,$

ce qui donne

$dz'=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}d\varpi \cos {\frac {1}{2}}\varpi \,;$

l’intégrale $\int {\frac {dz'\sin \varpi }{u}}$ devient ainsi

$-{\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\int {\frac {d\varpi \sin {\frac {1}{2}}\varpi \cos ^{2}{\frac {1}{2}}\varpi }{u}}.$