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Si l’on intègre cette équation, sans ajouter à l’intégrale des constantes arbitraires, qui peuvent être censées contenues dans les éléments du mouvement elliptique, et si l’on néglige, dans les termes dépendants de l’action du Soleil, ${\rm {M}}$ et ${\rm {N}}-n$ vis-à-vis de $n,$ dont ils ne sont que des fractions insensibles, on aura

${\frac {r\delta r}{a^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\rm {N^{2}}}}\left(2k+{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{3a^{2}}}-{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}+\sum {\frac {m'}{2}}a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}\right)$

$-{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}\cos(2nt-2{\rm {M}}t+2\varepsilon -2{\rm {E)}}$

$+\sum m'\left\{{\begin{aligned}&\ {\frac {n^{2}}{(n-n')^{2}-{\rm {N^{2}}}}}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(1)}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times \cos \ \ (n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&{\frac {n^{2}}{4(n-n')^{2}-{\rm {N^{2}}}}}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(2)}}}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(2)}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times \cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&{\frac {n^{2}}{9(n-n')^{2}-{\rm {N^{2}}}}}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(3)}}}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(3)}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times \cos 3(n't-nt-\varepsilon '-\varepsilon )\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.$

La partie constante de cette expression est ce que nous avons désigné ci-dessus par ${\frac {\delta a}{a}}\,;$ on aura donc, en observant que ${\rm {N^{2}}}$ diffère très-peu de $n^{2},$

${\frac {\delta a}{a}}=-2k-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{3a^{2}}}+{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}-\sum {\frac {m'}{2}}a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}.$

Si l’on substitue les valeurs précédentes de $2\int \operatorname {d} {\rm {R}},r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}$ et ${\frac {r\delta r}{a^{2}}}$ dans l’expression de $\delta v,$ donnée par la formule (2) du n^o 2, on aura, en observant que ${\frac {1+m}{a^{2}}}=n^{2},$ que $\mu =1$ à très-peu près, que ${\rm {M}}$ est très-petit relativement à $n,$ et que ${\rm {N}}$ diffère très-peu de $n,$

$\delta v=nt\left(3k+{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {7}{4}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}+\sum m'a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}\right)$

$+{\frac {11}{8}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}\sin(2nt-2{\rm {M}}t+2\varepsilon -2{\rm {E)+\sum {\frac {m'n}{n-n'}}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&\left[{\frac {n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(1)}+{\frac {2N^{2}}{(n-n')^{2}-{\rm {N^{2}}}}}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(1)}\right)\right]\\&\qquad \qquad \qquad \times \sin \ \ (n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+{\frac {1}{2}}&\left[{\frac {n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(2)}+{\frac {2N^{2}}{4(n-n')^{2}-{\rm {N^{2}}}}}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(2)}}}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(2)}\right)\right]\\&\qquad \qquad \qquad \times \sin 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+{\frac {1}{3}}&\left[{\frac {n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(3)}+{\frac {2N^{2}}{9(n-n')^{2}-{\rm {N^{2}}}}}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(3)}}}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(3)}\right)\right]\\&\qquad \qquad \qquad \times \sin 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.$