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on aura donc, en n’ajoutant point de constante à cette partie de l’expression de $2\int \operatorname {d} {\rm {R}},$ parce qu’elle peut être censée contenue dans la constante arbitraire $k,$

${\begin{aligned}2\int \operatorname {d} {\rm {R}}=&-{\frac {{\rm {M}}^{2}r^{2}}{2}}\left[1+{\frac {3n}{n-{\rm {M}}}}\cos(2nt-2{\rm {M}}t+2\varepsilon -2{\rm {E)}}\right],\\r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=&-{\frac {{\rm {M}}^{2}r^{2}}{2}}\left[1+3\cos(2nt-2{\rm {M}}t+2\varepsilon -2{\rm {E)}}\right],\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}2\int \operatorname {d} {\rm {R}}=&-{\frac {{\rm {M}}^{2}a^{2}}{2}}-{\rm {M}}^{2}r\delta r-{\frac {3{\rm {M}}^{2}na^{2}}{2n-2{\rm {M}}}}\cos(2nt-2{\rm {M}}t+2\varepsilon -2{\rm {E),}}\\r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=&-{\frac {{\rm {M}}^{2}a^{2}}{2}}-{\rm {M}}^{2}r\delta r-{\frac {3}{2}}{\rm {M}}^{2}a^{2}\cos(2nt-2{\rm {M}}t+2\varepsilon -2{\rm {E).}}\end{aligned}}$

Cela posé, si l’on rassemble tous ces termes dans l’équation différentielle (1), et qu’on la divise par $a^{2}$ ; si, de plus, on observe que l’on a $n^{2}={\frac {1+m}{a^{3}}},$ ou à très-peu près $n^{2}={\frac {1}{a^{3}}},\ m$ étant une très-petite fraction au-dessous d’un dix-millième, la masse de Jupiter étant prise pour unité ; enfin, si, pour abréger, on suppose

${\rm {N}}^{2}=n^{2}\left[1-{\frac {3\delta a}{a}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {2{\rm {M^{2}}}}{n^{2}}}+\sum {\frac {m'a^{2}}{2}}\left(3{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}+a{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{2}}}\right)\right]$

la caractéristique $\sum$ servant à exprimer la somme des termes semblables à ceux qui la suivent et qui dépendent de l’action des satellites perturbateurs, on aura

$0={\frac {d^{2}.r\delta r}{a^{2}dt^{2}}}+{\rm {N}}^{2}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}+2n^{2}k+n^{2}{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{3a^{2}}}-{\rm {M}}^{2}+\sum {\frac {m'n^{2}}{2}}a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}$

$-3{\rm {M}}^{2}{\frac {2n-{\rm {M}}}{2n-2{\rm {M}}}}\cos(2nt-2{\rm {M}}t+2\varepsilon -2{\rm {E)}}$

$+\sum m'n^{2}\left\{{\begin{aligned}&\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(1)}\right)\cos \ \ (n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(2)}}}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(2)}\right)\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(3)}}}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(3)}\right)\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.$