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observerons que ces limites sont la section horizontale de la surface intérieure du tube et que cette section est une courbe rentrante. Prenons l’origine des $x$ et des $y$ au dehors de cette courbe, de manière qu’elle soit comprise tout entière dans l’angle droit formé par les axes des $x$ et des $y$. Dans ce cas, les valeurs de $dx$ et de $dy$ sont évidemment positives dans les doubles intégrales précédentes lorsque $g\mathrm {D} \iint (h+z)dxdy$ exprime le poids du fluide soulevé, comme nous le supposons ici ; ces différentielles doivent donc aussi être supposées positives dans les intégrales simples. Cela posé :

L’élément $-{\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {H} (q)dx}{\sqrt {1+(p)^{2}+(q)^{2}}}}$ se rapporte à la branche de la section convexe vers l’axe des $x,$ et l’élément ${\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {H} qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$ se rapporte à la branche concave vers le même axe. L’élément $-{\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {H} (p)dy}{\sqrt {1+(p)^{2}+(q)^{2}}}}$ se rapporte à la branche de la section convexe vers l’axe des $y,$ et l’élément ${\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {H} pdy}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$ se rapporte à la branche concave vers le même axe ; en supposant donc que les éléments

$-{\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {H} (q)dx}{\sqrt {1+(p)^{2}+(q)^{2}}}},\qquad -{\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {H} (p)dy}{\sqrt {1+(p)^{2}+(q)^{2}}}}$

se rapportent au même point de la section, ce point appartiendra à la partie de la section convexe à la fois vers l’axe des $x$ et vers l’axe des $y$. Dans cette partie, les valeurs de $dx$ et de $dy$, rapportées à la courbe, sont de signe contraire ; en supposant donc $dx$ toujours positif, $dy$ sera négatif et la somme des deux éléments précédents sera

${\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {H} \left[(p)dy-(q)dx\right]}{\sqrt {1+(p)^{2}+(q)^{2}}}},$

les différentielles $dx$ et $dy$ étant ici celles de la section.

Pareillement, si les éléments ${\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {H} qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$ et ${\frac {{\frac {1}{2}}\mathrm {H} pdy}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$ se rapportent au même point de la section, ce point sera dans une partie de la courbe concave à la fois vers l’axe des $x$ et vers l’axe des $y$. Dans