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la forme

$-sdsd\theta dz{\frac {\partial \Pi (f)}{\partial z}}.$

L’attraction du solide entier sur le point que nous considérons sera donc, suivant l’axe des $z$,

$-\iiint sdsd\theta dz{\frac {\partial \Pi (f)}{\partial z}},$

d’où l’on tire, pour cette attraction, prise depuis $z=z'$ jusqu’à $z$ infini, ce qui rend $\Pi (f)$ nul,

$\iint sdsd\theta \Pi (f'),$

$f'$ étant la valeur de $f$ relative aux points de la surface, et $z'$ étant la valeur de $z$ relative à ces points. Or on a

$z'=\mathrm {A} x^{2}+\lambda xy+\mathrm {B} y^{2}\,;$

on a de plus, à fort peu près,

$f'^{2}=x^{2}+y^{2}+r^{2}-2rz',$

en négligeant le carré de $z'$ par rapport à $x^{2}+y^{2}+r^{2}-2rz'\,;$ on aura donc

$f'df'=sds-rdz'.$

Si l’on substitue pour $z'$ sa valeur et si l’on observe que $x=s\cos \theta ,\ y=s\sin \theta ,$ l’équation à la surface donnera, en regardant $\theta$ comme constant,

$dz'=2sds\left(\mathrm {A} \cos ^{2}\theta +\lambda \sin \theta \cos \theta +\mathrm {B} \sin ^{2}\theta \right).$

Ainsi, $r$ étant extrêmement petit, tant que $\Pi (f')$ a une valeur sensible, on pourra supposer, à très-peu près,

$sds=f'df'\left(1+2\mathrm {A} r\cos ^{2}\theta +2\lambda r\sin \theta \cos \theta +2\mathrm {B} r\sin ^{2}\theta \right).$

L’intégrale $\iint sdsd\theta \Pi (f')$ se transforme ainsi dans la suivante :

$\iint f'df'd\theta \left(1+2\mathrm {A} r\cos ^{2}\theta +2\lambda r\sin \theta \cos \theta +2\mathrm {B} r\sin ^{2}\theta \right)\Pi (f').$

D’après les principes connus sur la transformation des doubles intégrales, on peut intégrer ici d’abord par rapport à $\theta$ et ensuite par rap-