et
on aura, par le no 46 du Livre II,
(2)
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étant le demi-grand axe de l’orbe du satellite,
étant le rapport de l’excentricité au demi-grand axe, et
étant le moyen mouvement du satellite.
En nommant
l’angle décrit par la projection du rayon vecteur
sur le plan fixe, on a, par le même numéro,
![{\displaystyle dv=dv_{1}{\frac {\sqrt {\left(1+s^{2}\right)^{2}-{\frac {ds^{2}}{dv_{1}^{2}}}}}{\sqrt {1+s^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64af3b21fc1c1f416c67ad44a173e38ca4a17301)
étant la tangente de la latitude de
au-dessus du plan fixe ; en sorte que, si l’on néglige le carré de
on a
![{\displaystyle \delta v=\delta v_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2841d775e67b27e76ecfc3087996a5d1540a2956)
Pour déterminer
nous observerons que l’on a, par le no 15 du Livre II,
étant supposé constant,
![{\displaystyle 0=\left({\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s\right)\left(1-{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535e942bde662b8f9ccac34c835b3d9e0656e8e9)
![{\displaystyle -{\frac {1}{h^{2}u^{2}}}{\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}+{\frac {s}{h^{2}u}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial u}}+{\frac {1+s^{2}}{h^{2}u^{2}}}{\frac {\partial '{\rm {R}}}{\partial s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5ff551559063cacf73719d8d09e97cf2f83433)
étant la projection du rayon vecteur
sur le plan fixe ;
étant une constante qui, dans l’orbite elliptique, est, par le no 20 du Livre II, égale à
enfin, la différence partielle
étant relative au cas où l’on considère
comme fonction de
et
Considérons
comme fonction de
et
ainsi que nous l’avons fait dans le numéro précédent ; nous aurons
![{\displaystyle du{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial u}}+ds{\frac {\partial '{\rm {R}}}{\partial s}}=dr{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}+ds{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f73447fa1454d5de1c40e8ad9c5f83967c1c39)