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On a, à très-peu près, $v=s-s_{1},\ s_{1}$ exprimant la tangente de la latitude du satellite $m$ au-dessus du plan fixe, en le supposant mû dans le plan de l’équateur de Jupiter ; on a donc, pour la partie $-{\rm {V}}$ de l’expression de ${\rm {R}}$,

$-{\rm {V}}=-\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\left[{\frac {1}{3}}-(s-s_{1})^{2}\right]{\frac {\rm {MB^{2}}}{r^{3}}}.$

2. Rappelons maintenant les équations différentielles du mouvement d’un corps sollicité par des forces quelconques. Parmi les diverses formes que nous leur avons données dans les Livres précédents, nous choisirons celles qui conduisent de la manière la plus simple aux résultats que nous voulons obtenir. On a, par le n^o 46 du Livre II,

(A)

$0={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {\mu }{r}}+{\frac {\mu }{a}}+2\int \operatorname {d} {\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}},$

$dt$ est l’élément du temps, et cet élément est supposé constant ; $\mu$ est égal à la somme ${\rm {M}}+m$ des masses de Jupiter et du satellite $m$ ; la différence partielle $r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}$ est égale à $x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}+y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}+z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\,;$ la caractéristique différentielle $\operatorname {d}$ se rapporte aux seules coordonnées de $m.$ Si l’on désigne par $\delta$ la variation due aux forces perturbatrices, on aura, en différenciant l’équation précédente par rapport à $\delta$,

(1)

$0={\frac {d^{2}.r\delta r}{dt^{2}}}+\mu {\frac {r\delta r}{r^{3}}}+2\int \operatorname {d} {\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}.$

On déterminera par cette équation différentielle les perturbations du rayon vecteur ; on pourra même comprendre dans son intégrale l’excentricité de l’orbite du satellite ; car, vu l’extrême petitesse de cette excentricité, on peut négliger son carré et ses puissances supérieures, et l’on peut supposer que la variation $2r\delta r$ renferme, non-seulement les inégalités dues aux perturbations, mais encore la partie elliptique de $r^{2}.$

Si l’on nomme $dv_{1}$ l’angle intercepté entre les deux rayons vecteurs $r$