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$\mathrm {R}$ étant le rayon osculateur de la section de la surface par un plan passant par l’axe de révolution. Le terme ${\frac {{\cfrac {1}{u}}{\cfrac {dz}{du}}}{\sqrt {1+{\cfrac {d^{2}z}{du^{2}}}}}}$ représente $\mathrm {{\frac {1}{R'}},\ R'}$ étant l’autre rayon de courbure ; ce rayon est égal à la perpendiculaire à la surface, prolongée jusqu’à sa rencontre avec l’axe de révolution.

Soit ${\frac {g}{\mathrm {H} }}=\alpha \,;$ on aura, en intégrant,

${\frac {u{\cfrac {dz}{du}}}{\sqrt {1+{\cfrac {d^{2}z}{du^{2}}}}}}-2\alpha \int zudu={\frac {u^{2}}{b}}$+const.

En faisant commencer l’intégrale $\int zudu$ avec $u,$ la constante sera nulle. Soit

$u'=u+{\frac {2\alpha b}{u}}\int zudu\,;$

l’équation précédente donnera

$dz={\frac {u'du}{\sqrt {b^{2}-u'^{2}}}}.$

Dans le cas de $\alpha$ nul, on a $u'=u,$ ce qui donne

$z=b-{\sqrt {b^{2}-u'^{2}}},$

et par conséquent

${\frac {2\alpha b}{u}}\int zudu={\frac {\alpha b}{u}}\left[bu^{2}+{\frac {2}{3}}\left(b^{2}-u^{2}\right)^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{3}}b^{3}\right].$

La différentielle du second membre de cette équation est

${\frac {\alpha b^{2}du\left(3u^{2}+2b^{2}\right)}{3u^{2}}}-{\frac {2\alpha bdu}{3u^{2}}}{\sqrt {b^{2}-u^{2}}}\left(b^{2}+2u^{2}\right).$

Si l’on néglige les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on peut changer $u$ en $u'$ dans cette fonction différentielle. On aura ainsi, en différenciant l’expression