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plan qui passe par les axes $2a$ et $2\mathrm {A}$, et par un autre plan faisant avec le premier l’angle $d\theta$ et passant par l’axe $2a,$ cette action, dis-je, est à très-peu près la même que celle d’une portion semblable d’une sphère dont le rayon serait $\mathrm {B} \,;$ ainsi, l’action de cette sphère étant, par ce qui précède, $\mathrm {K+{\frac {H}{B}}} ,$ celle de la portion infiniment petite dont il s’agit sera ${\frac {1}{2\pi }}d\theta \left(\mathrm {K+{\frac {H}{B}}} \right)\,;$ l’action entière de l’ellipsoïde sur le canal sera donc

${\frac {1}{2\pi }}\int d\theta \left(\mathrm {K} +{\frac {\mathrm {H} }{b}}\cos ^{2}\theta +{\frac {\mathrm {H} }{b'}}\sin ^{2}\theta \right),$

l’intégrale devant être prise depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =2\pi ,$ ce qui donne pour cette action

$\mathrm {K} +{\frac {1}{2}}\mathrm {H} \left({\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b'}}\right).$

Si la surface est concave, il faut supposer $b$ et $b'$ négatifs. Si elle est en partie concave et en partie convexe, comme la gorge d’une poulie, il faut supposer positif le rayon osculateur relatif à la partie convexe et négatif celui qui appartient à la partie concave.

En nommant $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ les rayons osculateurs des sections de la surface du corps par deux plans qui forment entre eux un angle droit, on aura, par ce qui précède,

${\frac {1}{\mathrm {B} }}={\frac {1}{b'}}\sin ^{2}\theta +{\frac {1}{b}}\cos ^{2}\theta ,$

d’où l’on conclut, en changeant $\theta$ en ${\frac {\pi }{2}}+\theta ,$ ce qui change $\mathrm {B}$ en $\mathrm {B} ',$

${\frac {1}{\mathrm {B} '}}={\frac {1}{b'}}\cos ^{2}\theta +{\frac {1}{b}}\sin ^{2}\theta ,$

partant

$\mathrm {{\frac {1}{B}}+{\frac {1}{B'}}} ={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b'}}.$

L’action précédente peut donc encore être mise sous cette forme,

$\mathrm {K+{\frac {H}{2B}}+{\frac {H}{2B'}}} ,$