Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/401

l’action de la couche sur une colonne fluide dirigée suivant $r$ et dont l’extrémité la plus voi\sine du centre de la couche soit à la distance $b$ de ce centre, il faut multiplier ce coefficient par $dr$ et prendre l’intégrale du produit, ce qui redonne la fonction précédente elle-même, à laquelle il faut ajouter une constante, que l’on doit déterminer de manière que l’intégrale commence lorsque $r=b.$ On aura ainsi, pour cette intégrale,

${\begin{aligned}&{\frac {2\pi udu}{b}}\left[\Psi (b-u)-\Psi (b+u)\right]\\-&{\frac {2\pi udu}{r}}\left[\Psi (r-u)-\Psi (r+u)\right].\end{aligned}}$

Maintenant $\Psi (b+u)$ est une quantité toujours insensible lorsque $b$ a une valeur sensible, et si, comme nous le supposerons, $r,$ à l’extrémité de la colonne la plus éloignée du centre de la couche, surpasse $b$ d’une quantité sensible, $\Psi (r-u)$ sera insensible, et à plus forte raison $\Psi (r+u)\,;$ la fonction précédente se réduira donc à celle-ci :

${\frac {2\pi udu}{b}}\Psi (b-u),$

qui, par conséquent, exprimera l’action de la couche sur le fluide renfermé dans un canal infiniment étroit, dirigé suivant $r,$ et dont l’extrémité la plus voi\sine du centre de la couche en est distante de la quantité $b.$ Cette action est évidemment la pression que ce fluide exercerait, en vertu de l’attraction de la couche, sur une base plane placée à cette extrémité, dans l’intérieur du canal, perpendiculairement à sa direction, cette base étant prise pour unité.

Pour avoir l’action de la sphère entière dont le rayon est $b,$ supposons $b-u=z\,;$ cette action sera égale à l’intégrale

$2\pi \int {\frac {b-z}{b}}dz\Psi (z),$

prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=b.$ Soit donc $\mathrm {K}$ l’intégrale $2\pi \int dz\Psi (z),$ prise dans ces limites, et $\mathrm {H}$ l’intégrale $2\pi \int zdz\Psi (z),$ prise dans les