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Si l’on met pareillement la quatrième des équations (A) sous cette forme,

${\frac {262''{,}168}{2e^{\rm {v}}}}.2e^{\rm {v}}\sin \left(n^{\rm {v}}t+\varepsilon ^{\rm {v}}-\varpi ^{\rm {v}}+2n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}+2\varepsilon ^{\rm {v}}-2\varepsilon ^{\rm {iv}}\right),$

on aura, par la même substitution, l’inégalité suivante :

${\frac {262''{,}168}{2e^{\rm {v}}}}.2066''{,}921.\sin \left(-2n^{\rm {v}}t-2\varepsilon ^{\rm {v}}+62^{\circ }{,}4250\right).$

En substituant dans ces diverses inégalités leurs valeurs en 1750, données dans le n^o 22 du Livre VI, les quatre inégalités (A) donneront les suivantes :

${\begin{aligned}&3''{,}6449.\sin \left(3n^{\rm {v}}t-n^{\rm {iv}}t+3\varepsilon ^{\rm {v}}-\varepsilon ^{\rm {iv}}-61^{\circ }{,}8669\right),\\+&1''{,}1711.\sin \left(2n^{\rm {v}}t+2\varepsilon ^{\rm {v}}-61^{\circ }{,}8669\right),\\+&5''{,}0469.\sin \left(3n^{\rm {v}}t-n^{\rm {iv}}t+3\varepsilon ^{\rm {v}}-\varepsilon ^{\rm {iv}}-62^{\circ }{,}1250\right),\\+&7''{,}5695.\sin \left(2n^{\rm {v}}t+2\varepsilon ^{\rm {v}}-62^{\circ }{,}4260\right).\end{aligned}}$

Ces inégalités sont très-petites ; mais, comme elles peuvent être réunies à des inégalités semblables qui existent dans les Tables, elles n’y apportent point de complication et elles doivent leur donner plus d’exactitude.

On a vu, dans le n^o 12 du Livre VI, que l’inégalité de Jupiter,

$522''{,}426.\sin \left(3n^{\rm {iv}}t-5n^{\rm {v}}t+3\varepsilon ^{\rm {iv}}-5\varepsilon ^{\rm {v}}+61^{\circ }{,}8669\right),$

est le résultat des variations, dans l’équation du centre et dans le périgée, dépendantes de l’angle $5n^{\rm {v}}t-2n^{\rm {iv}}t.$ Soient $\delta \varepsilon ^{\rm {iv}}$ et $\delta \varpi ^{\rm {iv}}$ ces variations. L’inégalité précédente sera égale à

$2(\delta e^{\rm {iv}}\sin \left(n^{\rm {iv}}t+\varepsilon ^{\rm {iv}}-\varpi ^{\rm {iv}}\right)-2e^{\rm {iv}}\delta \varpi ^{\rm {iv}}\cos \left(n^{\rm {iv}}t+\varepsilon ^{\rm {iv}}-\varpi ^{\rm {iv}}\right).$

L’expression de la longitude vraie de Jupiter en fonction de sa longitude moyenne renferme, par le n^o 22 du Livre II, les deux termes

${\frac {5}{4}}e^{\rm {iv^{2}}}\sin \left(2n^{\rm {iv}}t+2\varepsilon ^{\rm {iv}}-2\varpi ^{\rm {iv}}\right)+{\frac {13}{12}}e^{\rm {iv^{2}}}\sin \left(3n^{\rm {iv}}t+3\varepsilon ^{\rm {iv}}-3\varpi ^{\rm {iv}}\right),$