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nous avons désignées par $\mathrm {H} ,a$ et $n$ pour la planète, que nous supposerons être ici la Terre, et si l’on nomme $x',y',z'$ ses coordonnées rapportées au centre de la Terre, ses coordonnées rapportées au centre du Soleil seront $x+x',\ y+y',\ z+z'\,;$ ainsi, en nommant $f$ la distance de la Lune à cet astre, on aura

$f^{2}=(x+x')^{2}+(y+y')^{2}+(z+z')^{2}.$

Il est aisé de voir, par le numéro précédent, que l’action de la lumière solaire produit sur le centre de la Lune, et en sens contraire de ses coordonnées, les forces

${\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}{\frac {dx'+dx}{dt}},\qquad {\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}{\frac {dy'+dy}{dt}},\qquad {\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}{\frac {dz'+dz}{dt}}.$

Il faut en retrancher les forces dont le centre de la Terre est animé par la même action, pour avoir son mouvement relatif autour de ce centre, et ces forces sont, par le numéro précédent,

${\frac {\mathrm {H} '}{r^{2}}}{\frac {dx}{dt}},\qquad {\frac {\mathrm {H} '}{r^{2}}}{\frac {dy}{dt}},\qquad {\frac {\mathrm {H} '}{r^{2}}}{\frac {dz}{dt}}\,;$

on a donc ici

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x'}}=&{\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}{\frac {dx'}{dt}}+\left({\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}-{\frac {\mathrm {H} }{r^{2}}}\right){\frac {dx}{dt}},\\\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y'}}=&{\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}{\frac {dy'}{dt}}+\left({\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}-{\frac {\mathrm {H} }{r^{2}}}\right){\frac {dy}{dt}},\\\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z'}}=&{\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}{\frac {dz'}{dt}}+\left({\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}-{\frac {\mathrm {H} }{r^{2}}}\right){\frac {dz}{dt}},\end{aligned}}$

ce qui donne

$\operatorname {d} \mathrm {R} ={\frac {\mathrm {H} '}{f}}{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt}}+\left({\frac {\mathrm {H} '}{f^{2}}}-{\frac {\mathrm {H} }{r^{2}}}\right){\frac {dxdx'+dydy'+dzdz'}{dt}},$

la caractéristique $\operatorname {d}$ ne se rapportant qu’aux coordonnées de l’orbite relative de la Lune. L’équation séculaire de ce satellite est, par le n^o 65

du Livre II,

${\frac {3a'n'}{\mu }}\int \left(dt\int \operatorname {d} \mathrm {R} \right).$