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Soleil, et $(\rho )$ sa densité à la distance $1\,;$ on aura $\rho ={\frac {(\rho )}{r^{2}}}\,;$ les deux forces dont il s’agit pourront donc être représentées par ${\frac {\mathrm {H} \theta }{r^{2}}}$ et ${\frac {\mathrm {H} }{r^{2}}}{\frac {ds}{dt}}.$ La première est en sens contraire de la gravitation vers le Soleil, et, comme elle suit la même loi, elle se confond avec elle en la diminuant un peu. La seconde force est en sens contraire du mouvement de la planète, et produit une résistance à ce mouvement. En la comparant à la résistance $\mathrm {K} {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}\varphi \left({\frac {1}{r}}\right)$ on aura

$\mathrm {K} \varphi \left({\frac {1}{r}}\right)={\frac {\mathrm {H} }{r^{2}{\frac {ds}{dt}}}},$

ce qui donne, par le numéro précédent, les trois équations

${\begin{aligned}d{\frac {1}{a}}=&\quad {\frac {2\mathrm {H} }{r^{2}}}{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}},\\\\d(e\sin \varpi )=&\quad {\frac {2\mathrm {H} }{r^{2}}}{\frac {dx}{dt}}(xdy-ydx),\\\\d(e\cos \varpi )=&-{\frac {2\mathrm {H} }{r^{2}}}{\frac {dy}{dt}}(xdy-ydx).\end{aligned}}$

Ces trois équations deviennent, en négligeant les quantités périodiques,

${\begin{aligned}d{\frac {1}{a}}=&\quad {\frac {2\mathrm {H} dv\left(1+e^{2}\right)}{a^{\frac {3}{2}}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\\\\d(e\sin \varpi )=&-{\frac {2\mathrm {H} dv.e\sin \varpi }{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}},\\\\d(e\cos \varpi )=&-{\frac {2\mathrm {H} dv.e\cos \varpi }{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}d\varpi =&0,\\de=&-{\frac {2\mathrm {H} edv}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}}={\frac {eda\left(1-e^{2}\right)}{a\left(1+e^{2}\right)}}\,;\end{aligned}}$

partant,

${\frac {da}{a}}={\frac {\left(1+e^{2}\right)de}{e\left(1-e^{2}\right)}}.$