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en prenant donc le centre du corps $m$ pour origine des coordonnées, ce qui donne $x$ et $y$ nuls, et

${\begin{aligned}&{\rm {X^{2}+Y^{2}}}=r^{2},\\&(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}=s^{2},\\&(x''-x)^{2}+(y''-y)^{2}=s'^{2}=s^{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

on aura

$r^{2}={\frac {(m'+m'')s^{2}}{m+m'+m''}}-{\frac {(mm'+mm''+m'm'')s^{2}}{(m+m'+m'')^{2}}},$

d’où l’on tire

$s={\frac {(m+m'+m'')r}{\sqrt {m'^{2}+m'm''+m''^{2}}}}.$

En substituant cette valeur de $s$ dans la fonction $\varphi (s),$ on aura la loi de la gravitation du corps $m$ vers le centre de gravité du système. La force qui sollicite $m$ vers ce point étant égale à ${\rm {K}}r,$ et ${\rm {K}}$ étant égal à $(m+m'+m''){\frac {\varphi (s)}{s}},$ cette force sera

${\sqrt {m'^{2}+m'm''+m''^{2}}}.\varphi \left[{\frac {(m+m'+m'')r}{\sqrt {m'^{2}+m'm''+m''^{2}}}}\right].$

On aura, par la formule (3) du n^o 2 du Livre II, l’équation de la courbe décrite par le corps $m$ autour du même point, et par conséquent celles des courbes décrites par les corps $m'$ et $m'',$ puisque ces trois courbes sont semblables entre elles, avec des dimensions respectivement proportionnelles à $r,r'$ et $r''.$

Dans le cas de la nature, $\varphi (s)={\frac {1}{s^{2}}}\,;$ la force qui sollicite $m$ vers le centre de gravité du système est donc

${\frac {\left(m'^{2}+m'm''+m''^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{(m+m'+m'')^{2}r^{2}}}.$

Ainsi les trois corps décrivent des sections coniques semblables autour du centre de gravité du système, en formant constamment entre eux