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doit être nul lorsque $t=0,$ ce qui donne alors $s'=1,$ et par conséquent

${\rm {A+B=1.}}$

De plus, $\alpha {\frac {ds}{dt}}$ doit être nul avec $t,$ et par conséquent aussi $\alpha {\frac {ds'}{dt}},$ ce qui donne

${\rm {A-B=0\,;}}$

on a donc ${\rm {A=B={\frac {1}{2}},}}$ d’où l’on tire

$\alpha s={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1}{2}}c^{t{\sqrt {mg}}}+{\frac {1}{2}}c^{-t{\sqrt {mg}}}\right),$

et, en réduisant en série,

$\alpha s={\frac {gt^{2}}{2}}-{\frac {mg^{2}t^{4}}{12}}+{\frac {m^{2}g^{3}t^{6}}{45}}-\ldots .$

Pour déterminer $\alpha v',$ nous observerons que l’on a

$\alpha {\frac {ds}{dt}}={\frac {1}{m}}{\frac {ds'}{s'dt}},$

et qu’ainsi l’équation différentielle en $\alpha v'$ devient

$0=\alpha s'{\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}+\alpha {\frac {ds'}{dt}}{\frac {dv'}{dt}}-{\frac {2n}{m}}{\frac {ds'}{dt}}\sin \theta ,$

d’où l’on tire, en intégrant.

$\alpha s'{\frac {dv'}{dt}}={\frac {2n}{m}}s'\sin \theta +{\rm {C,}}$

${\rm {C}}$ étant une constante. Pour la déterminer, nous observerons que, $t$ étant nul, ${\frac {dv'}{dt}}=0,$ et qu’alors $s'=1,$ ce qui donne

${\rm {C}}=-{\frac {2n}{m}}\sin \theta \,;$

partant,

$\alpha {\frac {dv'}{dt}}={\frac {2n}{m}}\sin \theta \left(1-{\frac {1}{s'}}\right)={\frac {2n}{m}}\sin \theta \left(1-{\frac {2}{c^{t{\sqrt {mg}}}+c^{-t{\sqrt {mg}}}}}\right).$