Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/297

on aura

$\int dtc^{-t^{2}}={\frac {c^{-{\rm {T^{2}}}}}{2{\rm {T}}}}.{\frac {1}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {2q}{1+{\cfrac {3q}{1+{\cfrac {4q}{1+\ldots }}}}}}}}}},$

l’intégrale étant prise depuis $t={\rm {T}}$ jusqu’à $t$ infini. Sous cette forme, on peut employer son expression pour toutes les valeurs de ${\rm {T\,;}}$ mais, pour la simplicité du calcul, il convient de n’en faire usage que dans le cas où $q$ est égal ou plus petit que ${\frac {1}{4}}\,;$ dans les autres cas, les deux premières séries donneront plus facilement l’intégrale. Pour employer la fraction continue précédente, il faudra la réduire en fractions ordinaires, qui seront alternativement plus grandes et plus petites que l’intégrale. Les deux premières fractions sont ${\frac {1}{1}}$ et ${\frac {1}{1+q}}.$ Les numérateurs des fractions suivantes sont tels, que le numérateur de la i^ième fraction est égal au numérateur de la (i-1)^ième fraction, plus au numérateur de la (i-2)^ième fraction, multiplié par $(i-1)q.$ Les dénominateurs se forment de la même manière. Ces fractions successives sont ainsi

${\frac {1}{1}},\ {\frac {1}{1+q}},\ {\frac {1+2q}{1+3q}},\ {\frac {1+5q}{1+6q+3q^{2}}},\ {\frac {1+9q+8q^{2}}{1+10q+15q^{2}}},\ldots .$

Considérons maintenant le second terme de $d\theta ,$ donné par la formule (5), et voyons quelle est son influence. Elle est la plus grande dans le cas de la réfraction horizontale, et dans ce cas ce second terme devient

$-{\frac {\alpha {\frac {as}{l}}ds.c^{-{\frac {as}{l}}}\left[{\frac {3}{2}}s-2\alpha \left(1-c^{-{\frac {as}{l}}}\right)\right]}{(1-\alpha )\left[2s-2\alpha \left(1-c^{-{\frac {as}{l}}}\right)\right]^{\frac {3}{2}}}}.$

La partie la plus sensible de cette intégrale correspond à $s$ très-petit, parce qu’alors le dénominateur est fort petit. On peut donc, dans ce dénominateur et dans le facteur ${\frac {3}{2}}s-2\alpha \left(1-c^{-{\frac {as}{l}}}\right),$ développer $c^{-{\frac {as}{l}}}$ en