Considérons 
comme fonction génératrice de la série
l’équation différentielle précédente donnera, en n’y considérant que les coefficients de la puissance 
et, dans le cas de 
on a
ce qui revient à faire 
Nous observerons ici que généralement la fonction génératrice de 
dans toute équation linéaire aux différences finies dans laquelle les coefficients sont des fonctions rationnelles et entières de 
peut être déterminée, par la considération précédente, au moyen d’une équation différentielle infiniment petite du même ordre que la plus haute puissance de 
dans ces coefficients.
Maintenant toute équation linéaire du second ordre aux différences finies peut être facilement réduite en fraction continue par la méthode dont nous avons fait usage dans le no 10 du Livre IV. Considérons généralement l’équation
on aura
et par conséquent
ce qui donne
