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d’où il est aisé de conclure

\int sds\Pi (s)=-s\Pi _{1}(s)+\int ds\Pi _{1}(s).

La fonction $s\Pi _{1}(s)$ est nulle lorsque $s=0\,;$ elle est encore nulle lorsque $s$ est infini, car la fonction $\Pi _{1}(s)$ est alors infiniment petite et infiniment moindre que ${\frac {1}{s}}$ puisque l’action des corps sur la lumière est insensible à de très-petites distances. On a donc, en prenant l’intégrale depuis $s=0$ jusqu’à $s=\infty ,$

\int sds\Pi (s)=\int ds\Pi _{1}(s)={\rm {K,}}

${\rm {K}}$ étant ici la même chose que dans le n^o 2. Les termes ${\frac {1}{6}}\int s^{3}ds\Pi (s),$ ${\frac {1}{120}}\int s^{5}ds\Pi (s),\ldots$ peuvent être négligés relativement à $\int sds\Pi (s),$ à cause du peu d’étendue de l’action des corps sur la lumière. En effet, supposons, par exemple, que cette action soit représentée par ${\rm {Q}}c^{-is},\ c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, $i$ étant un très-grand nombre, ce qui rend $c^{-is}$ insensible à une très-petite distance. Les intégrales $\int sdsc^{-is},{\frac {1}{6}}\int s^{3}dsc^{-is},\ldots$ deviennent ${\frac {1}{i^{2}}},{\frac {1}{i^{4}}},\ldots ,$ d’où l’on voit que ${\frac {1}{6}}\int s^{3}ds\Pi (s),{\frac {1}{120}}\int s^{5}ds\Pi (s),\ldots$ sont insensibles relativement à $\int sds\Pi (s),$ et il est facile de voir que cela a lieu pour toute autre fonction qui rend l’action de la lumière insensible à de très-petites distances. Il suit de là que $\varphi =-2{\rm {K}}{\frac {d\rho }{dr}},$ et par conséquent