Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/280

cette intégrale est égale à $2{\rm {K}}\rho ,$ et l’on a

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}=n{\sqrt {1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho }}.\sin(\theta '+\varepsilon ),\\{\frac {ds'}{dt}}=n{\sqrt {1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho }}.\cos(\theta '+\varepsilon ),\end{aligned}}$

partant

${\rm {const}}.=n^{2}\left(1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho \right)\cos ^{2}(\theta '+\varepsilon )-2{\rm {K\rho ,}}$

ce qui donne

${\frac {ds'^{2}}{dt^{2}}}=n^{2}\left(1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho \right)\cos ^{2}(\theta '+\varepsilon )-2{\rm {K}}\rho +2\rho \int ds'\Pi _{1}(s').$

Cette valeur de ${\frac {ds'^{2}}{dt^{2}}}$ deviendra nulle avant que le rayon ait atteint la surface de sortie, toutes les fois que $\left(1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho \right)\cos ^{2}(\theta '+\varepsilon )$ sera moindre que ${\frac {2{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho .$ Dans ce cas, il est visible que la valeur de ${\frac {dx}{dt}}$ restera toujours la même et que le rayon décrira, en s’éloignant de la surface de sortie, une branche de courbe entièrement semblable à celle qu’il décrit en s’en approchant, le sommet de la courbe entière étant au point où ${\frac {ds'}{dt}}$ est nul. L’action des corps sur la lumière n’étant sensible qu’à de très-petites distances, la partie sensiblement courbe de cette trajectoire peut être regardée comme un point, et les deux branches de la courbe comme deux droites qui se réunissent à ce point, en sorte que le rayon parait se réfléchir de la surface de sortie, en formant l’angle de réflexion égal à l’angle d’incidence. La limite de cette réflexion a lieu lorsque le sinus de l’angle d’incidence $\theta '+\varepsilon$ sur la surface de sortie est égal à

${\sqrt {\frac {1+{\cfrac {2{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho }{1+{\cfrac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}\rho }}},$

et cette réflexion a toujours lieu lorsque le sinus de l’angle d’incidence