Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/203

satellite, où l’on peut supposer $2{\rm {U}}$ et $2\Pi$ égaux à $2v',$

${\begin{alignedat}{4}s'&=&3^{\circ }{,}041402&.\sin(v'+&51^{\circ }{,}3787&-t.&153''&{,}8)\\&-&5150''{,}6&.\sin(v'+&303^{\circ }{,}76542&+t.&133715''&{,}77)\\&-&374''{,}68&.\sin(v'+&208^{\circ }{,}32562&+t.&28220''&{,}85)\\&-&64''{,}88&.\sin(v'+&83^{\circ }{,}29861&+t.&7528''&{,}01).\end{alignedat}}$

Pour avoir la durée des éclipses du second satellite, nous reprendrons la formule du n^o 26,

$t={\rm {T(1-X)}}$

$\times \left\{-(1+\rho ')^{2}{\frac {s'}{\text{ϐ}}}{\frac {ds'}{dv'}}\pm {\sqrt {\left[1+{\frac {1}{2}}{\rm {X}}+(1+\rho '){\frac {s'}{\text{ϐ}}}\right]\left[1+{\frac {1}{2}}{\rm {X}}-(1+\rho '){\frac {s'}{\text{ϐ}}}\right]}}\right\}.$

Dans cette formule, ${\rm {T}}$ est la demi-durée moyenne des éclipses du satellite dans ses nœuds ou lorsque s’est nul. Delambre a trouvé cette demi-durée, depuis l’invention des lunettes achromatiques, égale à $5975''{,}7\,;$ nous supposerons donc à ${\rm {T}}$ cette valeur ; ϐ est le moyen mouvement synodique du satellite pendant le temps ${\rm {T}}$, et l’on trouve ${\text{ϐ}}=67254''{,}2.$ La valeur de $\rho '$ est ici $0{,}0718862.$ La valeur de ${\rm {X}}$ est, par le n^o 26, à très-peu près égale à $frac{dv'}{n'dt}-1,$ et, par conséquent, en ne considérant que les plus grands termes de $v',$ dans lesquels l’argument diffère peu de $\theta ',$

${\begin{aligned}{\rm {X=}}&0{,}00057797.\cos \ \ (\theta '-\varpi '')\\+&0{,}0187249\ \ .\cos 2(\theta '-\theta '').\end{aligned}}$

On peut négliger sans erreur sensible, pour ce satellite et pour le premier, le facteur

$1+\left({\frac {2{\rm {M}}}{n'-{\rm {M}}}}-{\frac {1-\lambda }{\lambda }}{\frac {a'}{\rm {D'}}}\right){\rm {H}}\cos {\rm {V,}}$

qui, par le n^o 26, doit multiplier la valeur de ${\rm {T.}}$ Nommons $\zeta$ la valeur de $(1+\rho '){\frac {s'}{\text{ϐ}}}\,;$ nous aurons

${\begin{alignedat}{5}\zeta =&&0{,}544121&.\sin(v'+&51^{\circ }&{,}3787&-t.&&153''&{,}8\ \ )\\-&&0{,}082089&.\sin(v'+&303^{\circ }&{,}76542&+t.&&133715''&{,}77)\\-&&0{,}005972&.\sin(v'+&208^{\circ }&{,}32562&+t.&&28220''&{,}85)\\-&&0{,}0010340&.\sin(v'+&83^{\circ }&{,}29861&+t.&&7528''&{,}01).\end{alignedat}}$