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$2e\sin(nt+\varepsilon -\varpi )$ étant le premier terme de la partie elliptique de $v,$ si l’on représente par $\delta (e\sin \varpi )$ et par $\delta (e\cos \varpi )$ les variations de $e\sin \varpi$ et $e\cos \varpi$ dépendantes de la force perturbatrice, on aura dans $v$ l’inégalité

$2\delta (e\cos \varpi )\sin(nt+\varepsilon )-2\delta (e\sin \varpi )\cos(nt+\varepsilon ).$

Donnons à l’inégalité $({\text{ı}})\sin(2nt-2n't+2\varepsilon -2\varepsilon ')$ la forme suivante

${\begin{aligned}&({\text{ı}})\cos(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ')\sin(nt+\varepsilon )\\+&({\text{ı}})\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ')\cos(nt+\varepsilon ).\end{aligned}}$

En la comparant à l’inégalité précédente, on aura

${\begin{aligned}2\delta (e\sin \varpi )=&-({\text{ı}})\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '),\\2\delta (e\cos \varpi )=&\quad ({\text{ı}})\cos(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ').\end{aligned}}$

Ces valeurs sont les mêmes que celles auxquelles nous sommes parvenus dans le numéro précédent. En effet, nous avons trouvé

$d(e\cos \varpi )=-{\frac {m'{\rm {F}}ndt}{2}}\left[1-{\frac {(0)}{2n-2n'-{\rm {N}}}}\right]\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '),$

d’où l’on tire, en intégrant,

$2\delta (e\cos \varpi )={\frac {m'{\rm {F}}n}{n-2n'}}\left[1-{\frac {(0)}{2n-2n'-{\rm {N}}}}\right]\cos(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ').$

Si l’on observe maintenant que ${\rm {N}}$ est à très-peu près égal à $n-(0),$ et que, par le n^o 4,

$({\text{ı}})={\frac {m'{\rm {F}}n}{2n-2n'-{\rm {N}}}},$

on verra que cette seconde valeur de $2\delta (e\cos \varpi )$ coïncide avec la précédente. Maintenant, l’expression elliptique de $v$ contient le terme ${\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2nt+2\varepsilon -2\varpi )$ ou

${\begin{aligned}&{\frac {5}{4}}\left(e^{2}\cos ^{2}\varpi -e^{2}\sin ^{2}\varpi \right)\sin(2nt+2\varepsilon )\\-&{\frac {5}{2}}e^{2}\sin \varpi \cos \varpi \cos(2nt+2\varepsilon ).\end{aligned}}$

En changeant $e\sin \varpi$ dans $e\sin \varpi +\delta (e\sin \varpi )$ et $e\cos \varpi$ dans