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la première de ces équations donnera, en y substituant $a^{2}+2r\delta r$ au lieu de $r^{2},$ et $nt+\varepsilon +\delta v$ au lieu de $v,$

${\begin{aligned}d(e\cos \varpi )=&4andt.m'{\rm {A}}^{(2)}\sin(2v-2v')\cos v\\&-a^{2}ndt.m'{\frac {\partial {\rm {A^{(2)}}}}{\partial a}}\cos(2v-2v')\\&-ndt{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}\sin(nt+\varepsilon )-ndt{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}\delta v\cos(nt+\varepsilon )\\&+4ndt{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}\sin(nt+\varepsilon ).\end{aligned}}$

Ne considérons, dans le second membre de cette équation, que les termes dépendants de l’angle $nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ',$ et observons que l’on a à très-peu près, par le n^o 4,

${\begin{aligned}r\delta r=&-{\frac {m'n{\rm {F}}}{2(2n-2n'-{\rm {N)}}}}\cos(2nt-2n't+2\varepsilon -2\varepsilon '),\\\delta v=&{\frac {m'n{\rm {F}}}{2n-2n'-{\rm {N}}}}\sin(2nt-2n't+2\varepsilon -2\varepsilon '),\end{aligned}}$

et que l’on a, par le même numéro,

${\rm {F}}=-4a{\rm {A}}^{(2)}-a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(2)}}}}{\partial a}}\,;$

on aura

$d(e\cos \varpi )=-{\frac {m'{\rm {F}}ndt}{2}}\left[1-{\frac {(0)}{2n-2n'-{\rm {N}}}}\right]\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ').$

La longitude moyenne, dans l’ellipse variable, est augmentée, par le n^o 7, de termes qui deviennent sensibles à raison des petits diviseurs qui les affectent, et qui dépendent de l’angle $nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+gt+\Gamma .$ Soient

${\begin{aligned}{\rm {Q}}\ &\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+gt+\Gamma ),\\{\rm {Q}}'&\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+gt+\Gamma )\end{aligned}}$

les termes de $v$ et de $v'$ dépendants de cet angle. Il faut augmenter $nt$ et $n't$ respectivement de ces quantités dans le terme précédent,

$-{\frac {m'{\rm {F}}ndt}{2}}\left[1-{\frac {(0)}{2n-2n'-{\rm {N}}}}\right]\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '),$