Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/106

$c$ étant une constante arbitraire, dont la valeur peut donner lieu aux trois cas suivants :

1^o Cette constante peut surpasser $2kn^{2},$ abstraction faite du signe ; alors elle est nécessairement positive : l’angle $\pm \varphi$ croissant indéfiniment, il devient égal à une, deux, trois,… circonférences.

2^o La constante $c$ peut être moindre, abstraction faite du signe, que $2kn^{2},\ k$ étant positif. Dans ce cas, le radical ${\sqrt {c-2kn^{2}\cos \varphi }}$ devient imaginaire, lorsque $\pm \varphi$ est égal à zéro, ou à une, deux,… circonférences ; l’angle $\varphi$ ne peut donc alors qu’osciller autour de la demi-circonférence à laquelle sa valeur moyenne est égale.

3^o La constante $c$ peut être moindre, abstraction faite du signe, que $2kn^{2},\ k$ étant négatif. Dans ce cas le radical ${\sqrt {c-2kn^{2}\cos \varphi }}$ devient imaginaire, lorsque $\pm \varphi$ est égal à un nombre impair de demi-circonférences ; l’angle $\varphi$ ne peut donc alors qu’osciller autour de zéro, en sorte que sa valeur moyenne est nulle.

Le cas de l’égalité entre $c$ et $\pm 2kn^{2}$ peut être censé compris dans les précédents ; il est d’ailleurs infiniment peu probable. Voyons lequel de ces différents cas a lieu dans la nature.

Nous verrons dans la suite que $k$ est une quantité positive ; ainsi le troisième cas n’existe point, et l’angle $\pm \varphi$ doit ou croître indéfiniment, ou osciller autour de la demi-circonférence. Supposons

$\varphi =\pi \pm \varpi ,$

$\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; nous aurons

$dt={\frac {d\varpi }{\sqrt {c+2kn^{2}\cos \varpi }}}.$

Si les angles $\pm \varphi$ et $\varpi$ croissent indéfiniment, $c$ est positif et plus grand que $2kn^{2}\,;$ on a donc, dans l’intervalle compris depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi$ égal au quart de la circonférence, $dt<{\frac {d\varpi }{n{\sqrt {2k}}}},$ et par conséquent $t<{\frac {\varpi }{n{\sqrt {2k}}}}\,;$ ainsi le temps $t$ que l’angle $\varpi$ emploierait à parvenir au quart de la circonférence serait moindre que ${\frac {\pi }{2n{\sqrt {2k}}}}.$ Nous verrons