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$\mu ^{2}={\frac {z^{2}}{r^{2}}}.$ En observant ensuite que $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ on aura

${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}=3\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {n^{2}{\rm {D^{2}}}}{a^{2}}}z\,;$

l’équation différentielle précédente devient ainsi

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+n^{2}z\left[1-{\frac {3\delta r}{a}}+3\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\right]\,;$

or on a, par ce qui précède,

${\frac {\delta r}{a}}={\frac {1}{3}}\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\,;$

on a donc

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+n^{2}z\left[1+2\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\right],$

ce qui donne, en intégrant,

$z=a\varphi \sin \left\{nt\left[1+\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\right]-\theta \right\},$

$\varphi$ étant l’inclinaison de l’orbite à l’équateur solaire, et $\theta$ étant une constante arbitraire. Ainsi les nœuds de l’orbite sur cet équateur ont un mouvement rétrograde égal au mouvement direct du périhélie, et qui, par conséquent, ne peut être sensible que pour Mercure. On voit en même temps que, l’ellipticité du Soleil n’ayant aucune influence ni sur l’excentricité de l’orbe de la planète ni sur son inclinaison à l’équateur solaire, elle ne peut pas altérer la stabilité du système planétaire.