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et par conséquent l’équation différentielle en $r\delta r$ devient, en observant que $n^{2}a^{2}=1,$ et négligeant le carré de $e,$

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}.r\delta r}{dt^{2}}}+n^{2}r\delta r\left[1+3e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\right]-{\frac {2\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right)}{3}}n^{2}{\rm {D^{2}}}\\&+{\frac {\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right)}{3}}n^{2}{\rm {D^{2}\left[1+3e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\right],}}\end{aligned}}$

ce qui donne, en intégrant,

${\frac {r\delta r}{a^{2}}}={\frac {1}{3}}\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\left[1-3ent\sin(nt+\varepsilon -\varpi )\right].$

La partie elliptique de ${\frac {r^{2}}{a^{2}}}$ est $1-2e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\,;$ en y faisant donc varier $\varpi$ de $\delta \varpi ,$ on aura

${\frac {r\delta r}{a^{2}}}=-e\delta \varpi \sin(nt+\varepsilon -\varpi ).$

Si l’on compare cette expression de ${\frac {r\delta r}{a^{2}}}$ à la précédente, on aura

$\delta \varpi =\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}nt=\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {\rm {D^{2}t}}{a^{\frac {7}{2}}}}\,;$

l’effet le plus sensible de l’ellipticité du Soleil sur le mouvement de la planète dans son orbite est donc un mouvement direct dans son périhélie ; mais, ce mouvement étant réciproque à la racine carrée de la septième puissance du grand axe de l’ellipse planétaire, on voit qu’il ne peut être sensible que pour Mercure.

Pour avoir l’effet de l’ellipticité du Soleil sur la position de l’orbite, reprenons la troisième des équations (P) du n^o 46 du Livre II. Cette équation peut être mise sous la forme suivante

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {n^{2}a^{3}z}{r^{3}}}+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}.$

Prenons pour plan fixe celui de l’équateur solaire, ce qui donne