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CHAPITRE III.

des perturbations planétaires dues à l’ellipticité du soleil.

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18^bis. Le Soleil étant doué d’un mouvement de rotation, sa figure ne doit pas être exactement sphérique. Nous allons déterminer l’influence de son ellipticité sur les mouvements des planètes. Si l’on nomme $\rho$ cette ellipticité, $q$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, à l’équateur solaire, et $\mu$ la déclinaison d’une planète $m$ relativement à cet équateur ; si, de plus, on prend pour unité la masse du Soleil, et que l’on nomme ${\rm {D}}$ son demi-diamètre, il résulte du n^o 35 du Livre III que l’ellipticité du Soleil ajoute à la fonction ${\rm {R}}$ du n^o 46 du Livre II la quantité

$\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {{\rm {D}}^{2}}{r^{3}}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\,;$

l’équation différentielle en $r\delta r$ du n^o 46 du Livre II deviendra donc, en n’ayant égard qu’à cette partie de ${\rm {R}}$, en négligeant le carré de $\mu$ et en observant qu’ici $\int \operatorname {d} {\rm {R}}=g+{\rm {R}},\ g$ étant une arbitraire.

$0={\frac {d^{2}.r\delta r}{dt^{2}}}+{\frac {n^{2}a^{3}.r\delta r}{r^{3}}}+2g+{\frac {\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\rm {D}}^{2}}{3r^{3}}}.$

Pour déterminer la constante $g,$ nous observerons que la formule (Y) du n^o 46 du Livre II donne, dans $\delta v,$ la quantité

$3angt+\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\frac {{\rm {D}}^{2}}{a^{2}}}nt.$

$nt$ exprimant le moyen mouvement de la planète, cette quantité doit être nulle ; on a donc

$g=-{\frac {\left(\rho -{\frac {1}{2}}q\right){\rm {D}}^{2}}{3a^{3}}},$

{\rm S}