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Les valeurs de ${\rm {M^{(0)},M^{(1)},M^{(2)},M^{(3)}}}$ sont déterminées par les formules du n^o 4, en y changeant ce qui est relatif à $m$ dans ce qui est relatif à $m',$ et réciproquement. Les valeurs de ${\rm {N^{(0)}}}$ et ${\rm {N^{(1)}}}$ seront déterminées par les équations

${\begin{aligned}a'{\rm {N}}^{(0)}&=-2ma'{\rm {A}}^{(2)}-{\frac {1}{2}}maa'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(2)}}{\partial a}},\\a'{\rm {N}}^{(1)}&=ma'{\rm {A}}^{(1)}-{\frac {1}{2}}ma'^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a'}}.\end{aligned}}$

En réunissant toutes ces expressions partielles de $a'\operatorname {d} '{\rm {R,}}$ on aura un terme de cette forme

$mn'{\rm {I}}dt\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -{\rm {O).}}$

Le terme $3a'\iint n'dt\operatorname {d} '{\rm {R}}$ de l’expression de $\delta v'$ donnera ainsi

$-{\frac {3n'^{2}{\rm {I}}m}{(5n'-2n)^{2}}}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -{\rm {O).}}$

C’est le terme le plus sensible de la grande inégalité de Saturne dépendant du carré de la force perturbatrice.

Si l’expression de ${\rm {R}}$, divisée par la masse perturbatrice, était la même pour Jupiter et pour Saturne, on aurait, par le n^o 65 du Livre II, l’inégalité correspondante de Jupiter, en multipliant la précédente par $-{\frac {m'{\sqrt {a'}}}{m{\sqrt {a}}}}\,;$ mais la valeur de ${\rm {A}}^{(1)}$ n’est pas la même pour les deux planètes, et par conséquent les termes

${\rm {M}}^{(0)}e'^{2}\cos(3n't-nt+3\varepsilon '-\varepsilon -2\varpi ')$ et ${\rm {N}}^{(1)}e'\cos(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+\varpi '),$

divisés par les masses perturbatrices, sont différents pour chacune d’elles. Mais il résulte du n^o 65 du Livre II qu’en n’ayant égard qu’aux termes qui ont $(5n'-2n)^{2}$ pour diviseur, on a, dans ce cas,

$m\int \operatorname {d} {\rm {R}}_{\text{ı}}+m'\int \operatorname {d} '{\rm {R=0,}}$

${\rm {R}}_{\text{ı}}$ étant ce que devient ${\rm {R}}$ relativement à Jupiter, et la caractéristique différentielle $\operatorname {d}$ se rapportant aux coordonnées de Jupiter ; d’où il suit