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le terme de $\delta e'$,

${\frac {m^{2}t}{(5n'-2n)a'}}\left({\frac {\partial {\rm {P'}}}{\partial e'}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {P}}}{\partial e'^{2}}}-{\frac {\partial {\rm {P}}}{\partial e'}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {P'}}}{\partial e'^{2}}}+{\frac {\partial {\rm {P'}}}{\partial \gamma }}{\frac {\partial ^{2}{\rm {P}}}{\partial e'\partial \gamma }}-{\frac {\partial {\rm {P}}}{\partial \gamma }}{\frac {\partial ^{2}{\rm {P'}}}{\partial e'\partial \gamma }}\right),$

et le terme de $\delta \gamma ,$

${\frac {mm'}{(5n'-2n){\sqrt {aa'}}}}{\frac {m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}}{m'{\sqrt {a'}}}}t\left({\frac {\partial {\rm {P'}}}{\partial e'}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {P}}}{\partial e'\partial \gamma }}-{\frac {\partial {\rm {P}}}{\partial e'}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {P'}}}{\partial e'\partial \gamma }}\right)\,;$

on aura encore, en n’ayant égard qu’à ces termes,

$0=e\delta e.m{\sqrt {a}}+e'\delta e'.m'{\sqrt {a'}}+{\frac {mm'{\sqrt {aa'}}}{m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}}}\gamma \delta \gamma .$

Cette équation a donc lieu généralement, en ayant même égard aux termes dépendants du carré de la force perturbatrice.

La détermination du plan invariable, donnée dans le n^o 62 du Livre II, est fondée sur les trois équations

${\begin{aligned}c&=m{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}\cos \varphi +m'{\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}}\cos \varphi '+\ldots ,\\c'&=m{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}\sin \varphi \sin \theta +m'{\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}}\sin \varphi '\sin \theta '+\ldots ,\\c''&=m{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}\sin \varphi \cos \theta +m'{\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}}\sin \varphi '\cos \theta '+\ldots ,\end{aligned}}$

$a,a',\ldots$ étant constants par le n^o 12, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice ; la première de ces équations donne, en négligeant les produits de quatre dimensions de $e,e',\ldots ,\varphi ,\varphi ',\ldots ,$

const.$=\left(e^{2}+\varphi ^{2}\right)m{\sqrt {a}}+\left(e'^{2}+\varphi '^{2}\right)m'{\sqrt {a'}}+\ldots ,$

et l’on vient de voir que les termes dépendants du carré de la force perturbatrice n’altèrent point l’exactitude de cette équation. La seconde des trois équations précédentes donne, en négligeant les produits de trois dimensions de $e,e',\ldots ,\varphi ,\varphi ',\ldots ,$

$0=\delta (\varphi \sin \theta )m{\sqrt {a}}+\delta (\varphi '\sin \theta ')m'{\sqrt {a'}}+\ldots \,;$

or, en ayant même égard aux termes dépendants du carré de la force