Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 3.djvu/69

posée dans le n^o 56 du même Livre ; mais l’ignorance où nous sommes encore sur les valeurs des masses de plusieurs planètes rend inutile à l’Astronomie ce calcul, dans lequel il devient indispensable de faire entrer les variations séculaires dépendantes du carré de la force perturbatrice,

que nous venons de déterminer, et qui sont très-sensibles pour Jupiter et Saturne. Ces variations augmentent les valeurs de ${\frac {dh^{\rm {iv}}}{dt}},{\frac {dl^{\rm {iv}}}{dt}},{\frac {dp^{\rm {iv}}}{dt}},{\frac {dq^{\rm {iv}}}{dt}},$${\frac {dh^{\rm {v}}}{dt}},\ldots ,$ relatives à ces deux planètes, respectivement des quantités

${\frac {h^{\rm {iv}}\delta e^{\rm {iv}}}{e^{\rm {iv}}t}}+{\frac {l^{\rm {iv}}\delta \varpi ^{\rm {iv}}}{t}},\ {\frac {l^{\rm {iv}}\delta e^{\rm {iv}}}{e^{\rm {iv}}t}}-{\frac {h^{\rm {iv}}\delta \varpi ^{\rm {iv}}}{t}},\ {\frac {p^{\rm {iv}}\delta \varphi ^{\rm {iv}}}{\varphi ^{\rm {iv}}t}}+{\frac {q^{\rm {iv}}\delta \theta ^{\rm {iv}}}{t}},\ldots ,$

en ne considérant dans $\delta e^{\rm {iv}},\delta \varpi ^{\rm {iv}},\ldots$ que les quantités proportionnelles au temps $t$, déterminées dans les numéros précédents. On substituera dans ces dernières quantités, au lieu de $e^{\rm {iv}},\sin \varpi ^{\rm {iv}},\cos \varpi ^{\rm {iv}},\ldots ,$ leurs valeurs en $h^{\rm {iv}},l^{\rm {iv}},\ldots \,;$ les équations différentielles (A) du n^o 55 du Livre II cesseront d’être linéaires ; mais il sera facile de les intégrer par les méthodes connues d’approximation, lorsque la suite des siècles aura fait connaître les vraies valeurs des masses planétaires. Dans l’état actuel de l’Astronomie, il suffit d’avoir les variations séculaires des éléments des orbites, en séries ordonnées par rapport aux puissances du temps, en ne portant l’approximation que jusqu’à la seconde puissance.

On a vu, dans les n^o 57 et 59 du Livre II, que l’état du système planétaire est stable, c’est-à-dire que les orbites de ce système restent toujours très-peu excentriques et très-peu inclinées les unes aux autres. Nous avons déduit ce résultat important du Système du monde de l’équation trouvée dans le n^o 61 du Livre II

const.$=\left(e^{2}+\varphi ^{2}\right)m{\sqrt {a}}+\left(e'^{2}+\varphi '^{2}\right)m'{\sqrt {a'}}+\ldots .$

En effet, le second membre de cette équation est très-petit dans l’état actuel de ce Système ; il le sera donc toujours, ce qui exige que les excentricités et les inclinaisons des orbites soient toujours peu consi-