Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 3.djvu/51

De là on tire

${\begin{aligned}m'a'{\rm {P}}&=a'{\rm {M}}^{(0)}e'^{3}\sin 3\varpi '+a'{\rm {M}}^{(1)}e'^{2}e\sin(2\varpi '+\varpi )\\&+a'{\rm {M}}^{(2)}e'e^{2}\sin(\varpi '+2\varpi )+a'{\rm {M}}^{(3)}e^{3}\sin 3\varpi \\&+a'{\rm {M}}^{(4)}e'\gamma ^{2}\sin(2\Pi +\varpi ')+a'{\rm {M}}^{(5)}e\gamma ^{2}\sin 2\Pi +\varpi ).\end{aligned}}$

On aura $m'a'{\rm {P',}}$ en changeant dans cette expression de $m'a'{\rm {P}}$ les sinus en cosinus, et il sera facile de conclure les valeurs de $aP$ et de $a{\rm {P',}}$ en multipliant celles de $a'{\rm {P}}$ et de $a'{\rm {P'}}$ par ${\frac {a}{a'}}$ ou par $\alpha .$ On aura ensuite, en faisant $i=5$ dans les expressions de $\delta v$ et de ${\frac {\delta r}{a}}$ du numéro précédent,

$\delta v=-{\frac {6m'n^{2}}{(5n'-2n)^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&\left(a{\rm {P}}'+{\frac {2ad{\rm {P}}}{(5n'-2n)dt}}-{\frac {3ad^{2}{\rm {P'}}}{(5n'-2n)^{2}dt^{2}}}\right)\\&\qquad \times \sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\\-&\left(a{\rm {P}}-{\frac {2ad{\rm {P'}}}{(5n'-2n)dt}}-{\frac {3ad^{2}{\rm {P}}}{(5n'-2n)^{2}dt^{2}}}\right)\\&\qquad \times \cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\end{aligned}}\right\}$

$-{\frac {2m'n}{5n'-2n}}\left[{\begin{aligned}&a^{2}{\frac {\partial P}{\partial a}}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\\-&a^{2}{\frac {\partial P'}{\partial a}}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\\\end{aligned}}\right]$

$-{\frac {e{\rm {H}}}{2}}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi +{\rm {A)}}$

$+{\frac {5}{4}}e{\rm {K}}\sin(5n't-4nt+5\varepsilon '-4\varepsilon +\varpi +{\rm {B),}}$

${\begin{aligned}{\frac {\delta r}{a}}=&{\rm {H}}\cos(5n't-3nt+5\varepsilon '-3\varepsilon +{\rm {A)}}\\&+e{\rm {H}}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi +{\rm {A)}}\\&+e{\rm {H}}\cos(5n't-4nt+5\varepsilon '-4\varepsilon +\varpi +{\rm {A)}}\\&+{\frac {4m'n}{5n'-2n}}\left[a{\rm {P}}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left.a{\rm {P'}}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\right]\\\end{aligned}}$

En supposant $i=-2,$ et changeant ce qui est relatif à $m$ dans ce qui est relatif à $m',$ et réciproquement, on aura

$\delta v'={\frac {15mn'^{2}}{(5n'-2n)^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&\left(a'{\rm {P}}'+{\frac {2a'd{\rm {P}}}{(5n'-2n)dt}}-{\frac {3a'd^{2}{\rm {P'}}}{(5n'-2n)^{2}dt^{2}}}\right)\\&\qquad \times \sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\\-&\left(a'{\rm {P}}-{\frac {2a'd{\rm {P'}}}{(5n'-2n)dt}}-{\frac {3a'd^{2}{\rm {P}}}{(5n'-2n)^{2}dt^{2}}}\right)\\&\qquad \times \cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\end{aligned}}\right\}$

$-{\frac {2mn'}{5n'-2n}}\left[{\begin{aligned}&a'^{2}{\frac {\partial P}{\partial a'}}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\\-&a'^{2}{\frac {\partial P'}{\partial a'}}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon )\\\end{aligned}}\right]$

$-{\frac {e'{\rm {H'}}}{2}}\sin(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi '+{\rm {A')}}$

$+{\frac {5}{4}}e'{\rm {K'}}\sin(3n't-2nt+3\varepsilon '-2\varepsilon +\varpi '+{\rm {B'),}}$