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et alors les valeurs de ${\rm {P}}$ et de ${\rm {P'}}$ sont les mêmes, lorsque l’on considère l’action de $m'$ sur $m$ et celle de $m$ sur $m'.$ Déterminons ces valeurs.

On a, par le n^o 22 du Livre II, en ne portant la précision que jusqu’aux troisièmes puissances des excentricités inclusivement,

${\begin{aligned}{\frac {r}{a}}=&1+{\frac {1}{2}}e^{2}-\left(e-{\frac {3}{8}}e^{3}\right)\cos(nt+\varepsilon -\varpi )-{\frac {1}{2}}e^{2}\cos(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {3}{8}}e^{3}\cos(3nt+3\varepsilon -3\varpi ),\\v=&nt+\varepsilon +\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin(nt+\varepsilon -\varpi )+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {13}{12}}e^{3}\sin(3nt+3\varepsilon -3\varpi ).\end{aligned}}$

Cela posé, si l’on développe ${\rm {R}}$ suivant les termes dépendants de l’angle $5n't-2nt,$ on aura une expression de cette forme

${\begin{aligned}{\rm {R}}&={\rm {M}}^{(0)}e'^{3}\ \cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -3\varpi ')\\&+{\rm {M}}^{(1)}e'^{2}e\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -2\varpi '-\varpi )\\&+{\rm {M}}^{(2)}e'e^{2}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi '-2\varpi )\\&+{\rm {M}}^{(3)}\ \ e^{3}\ \cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -3\varpi )\\&+{\rm {M}}^{(4)}e'\gamma ^{2}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi '-2\Pi )\\&+{\rm {M}}^{(5)}e\ \gamma ^{2}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi '-2\Pi ),\end{aligned}}$

et l’on trouvera, après toutes les réductions,

${\begin{aligned}a'{\rm {M}}^{(0)}&=-{\frac {m'}{48}}\left(389b_{\frac {1}{2}}^{(2)}+201\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(2)}}{d\alpha }}+27\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(2)}}{d\alpha ^{2}}}+\alpha ^{3}{\frac {d^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(2)}}{d\alpha ^{3}}}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(1)}&=\ \ {\frac {m'}{16}}\,\left(402b_{\frac {1}{2}}^{(3)}+193\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(3)}}{d\alpha }}+26\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(3)}}{d\alpha ^{2}}}+\alpha ^{3}{\frac {d^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(3)}}{d\alpha ^{3}}}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(2)}&=-{\frac {m'}{16}}\,\left(396b_{\frac {1}{2}}^{(4)}+184\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(4)}}{d\alpha }}+25\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(4)}}{d\alpha ^{2}}}+\alpha ^{3}{\frac {d^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(4)}}{d\alpha ^{3}}}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(3)}&=\quad {\frac {m'}{48}}\left(380b_{\frac {1}{2}}^{(5)}+174\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(5)}}{d\alpha }}+24\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(5)}}{d\alpha ^{2}}}+\alpha ^{3}{\frac {d^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(5)}}{d\alpha ^{3}}}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(4)}&=-{\frac {m'\alpha }{16}}\left(10b_{\frac {3}{2}}^{(3)}+\alpha {\frac {db_{\frac {3}{2}}^{(3)}}{d\alpha }}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(5)}&=\,\ \ {\frac {m'\alpha }{16}}\left(7b_{\frac {3}{2}}^{(4)}+\alpha {\frac {db_{\frac {3}{2}}^{(4)}}{d\alpha }}\right).\end{aligned}}$