6. Considérons maintenant les inégalités du mouvement en latitude dépendantes des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites ; reprenons la troisième des équations (P) du no 46 du Livre II,
Prenons pour plan fixe celui de l’orbite primitive de 
ce qui perdmet de supposer 
nul dans 
On aura, par le no 4, et observant que 
![{\displaystyle {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}={\frac {m's'}{r'^{2}}}-{\frac {m'r's'}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ac6059446b8a280f4ec0dd729d8a4bdd63239a)
l’équation différentielle en deviendra ainsi
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+n^{2}z\left[1+3e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ed6b61c71e0dd4789c8eff96990613bf0d702b)
![{\displaystyle +{\frac {m'n^{2}a^{3}s'}{r'^{2}}}-{\frac {m'n^{2}a^{3}r's'}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56a65c91aab98a2c97e1e4352eeeff1ef4e0492)
Représentons par
![{\displaystyle {\rm {M}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right]+{\rm {N}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+{\rm {L}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8199bf8551f458e81a7b55743b0c9e780e482e39)
la partie de
![{\displaystyle {\frac {m's'}{r'^{2}}}-{\frac {m'r's'}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06b223148263fa2f36b020abb9598085c63e839)
dépendante des angles 
et 
et supposons qu’en n’ayant égard qu’aux inégalités de dépendantes de la simple inclinaison des orbites, la partie de relative à l’angle soit
![{\displaystyle \gamma a{\rm {F}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\Pi \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad55ec1cd725bc0ad74d6ba0674ab80a62ae961b)
on aura, en ne conservant que les termes dépendants des produits des excentricités et des inclinaisons,
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+n^{2}z&+{\frac {3}{2}}n^{2}e\gamma a{\rm {F}}\left\{{\begin{aligned}&\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+2\varepsilon -\varpi -\Pi \right]\\&\quad +\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\varpi -\Pi \right]\\\end{aligned}}\right\}\\&+n^{2}a^{3}{\rm {M}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2nt+{\rm {K}}\right]\\&+n^{2}a^{3}{\rm {N}}\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+{\rm {L}}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57feb44f576019f44c1df867e40b3edb23fc5aaa)
