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riodiques séculaires,

$0=m{\sqrt {a}}.d\delta v+m'{\sqrt {a'}}.d\delta v',$

ce qui donne immédiatement $\delta v'$ lorsque l’on a déterminé $\delta v.$

La valeur de $d\delta v$ est relative à l’angle compris entre les deux rayons vecteurs $r$ et $r+dr$. Pour avoir sa valeur relative à un plan fixe, nous observerons que, par le n^o 46 du Livre II, si l’on nomme $dv_{1}$ la projection de $dv$ sur ce plan, on a, en négligeant la quatrième puissance de l’inclinaison de l’orbite.

$dv_{1}=dv\left(1+{\frac {1}{2}}s^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}\right).$

On a, par le n^o 53 du Livre II,

$s=q\sin(nt+\varepsilon )-p\cos(nt+\varepsilon )+\ldots ,$

ce qui donne

$ds=\left(nq-{\frac {dp}{dt}}\right)dt\cos(nt+\varepsilon )+\left(np-{\frac {dq}{dt}}\right)dt\sin(nt+\varepsilon )+\ldots \,;$

on aura donc, en négligeant les quantités périodiques dépendantes de $nt,$ et en observant que $dv=ndt$, à très-peu près,

$dv_{1}=dv+{\frac {qdp-pdq}{2}}\,;$

ainsi, pour avoir la valeur de $d\delta v,$ il faut ajouter à la valeur précédente de $d\delta v$ la quantité ${\frac {qdp-pdq}{2}}.$

Si l’on ne considère que deux planètes $m$ et $m',$ on aura, par le n^o 59 du Livre II,

$(qdp-pdq)m{\sqrt {a}}+(q'dp'-p'dq')m'{\sqrt {a'}}=$

$-{\frac {mm'dt}{4}}aa'{\rm {B}}^{(1)}\left[(p'-p)^{2}+(q'-q)^{2}\right],$

et le second membre de cette équation est égal à $dt$ multiplié par une constante ; en n’ayant donc égard qu’aux quantités périodiques séculaires, on aura

$0=m{\sqrt {a}}.d\delta v_{1}+m'{\sqrt {a'}}.d\delta v'_{1},$

$\delta v_{1}$ et $\delta v'_{1}$ étant relatifs au plan fixe.