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de ${\rm {A}}^{(1)}$ en $a',$ au moyen de leurs valeurs données dans le n^o 49 du Livre II,

${\begin{aligned}&2ndt.a^{2}{\frac {\partial \delta {\rm {R}}}{\partial a}}=\\&{\frac {m'ndt}{2}}\left(h^{2}+l^{2}+h'^{2}+l'^{2}\right)\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+2a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{4}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{3}}}\right)\\\\&-m'ndt(hh'+ll')\left(2a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{4}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{3}}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on rassemble ces différents termes, on aura

${\begin{aligned}&d\delta v={\frac {m'ndt}{8}}\left(h^{2}+l^{2}\right)\left(2a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+7a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}+2a^{4}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{3}}}\right)\\\\&\qquad +{\frac {m'ndt}{4}}\left(h'^{2}+l'^{2}\right)\left(2a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+4a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}+a^{4}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{3}}}+\right)\\\\&-{\frac {m'ndt}{8}}(hh'+ll')\left(2a{\rm {A}}^{(1)}-2a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}+15a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}+4a^{4}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{3}}}\right).\end{aligned}}$

On pourra, dans cette expression, négliger les termes indépendants du temps $t$. Il est facile d’en conclure l’expression de $d\delta v',$ en changeant ce qui est relatif à $m$ dans ce qui est relatif à $m'$, et réciproquement, et en observant que, quoique la valeur de ${\rm {A}}^{(1)}$ relative à l’action de $m'$ sur $m$ soit, par le n^o 49 du Livre II, différente de sa valeur relative à l’action de $m$ sur $m',$ cependant on peut, dans l’expression précédente, employer indifféremment l’une ou l’autre valeur. Mais on obtiendra plus facilement $d\delta v'$ par la considération suivante. Si l’on ajoute la valeur de $d\delta v$ multipliée par $m{\sqrt {a}}$ à la valeur de $d\delta v'$ multipliée par $m'{\sqrt {a'}},$ on aura, en substituant au lieu des différences partielles de ${\rm {A}}^{(0)}$ et de ${\rm {A}}^{(1)}$ en $a'$ leurs différences partielles en $a,$

${\begin{aligned}&m{\sqrt {a}}.d\delta v+m'{\sqrt {a'}}.d\delta v'=\\&\qquad \qquad -{\frac {3mm'dt}{4}}\left(h^{2}+l^{2}+h'^{2}+l'^{2}\right)\left(a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)\\\\&\qquad \qquad -{\frac {3mm'dt}{2}}(hh'+ll')\left({\rm {A}}^{(1)}-a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on ne considère que deux planètes $m$ et $m'$ la différentielle du second membre de cette équation est nulle en vertu des équations (A) du n^o 55 du Livre II ; on a donc, en ne considérant que les quantités pé-