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on aura donc

${\frac {d(2rd\delta r+dr\delta r)}{r^{2}dv}}=-{\frac {m'ndt}{4}}\left[\left(h^{2}+l^{2}\right){\rm {C}}+(hh'+ll'){\rm {D}}\right].$

On a, par le n^o  55 du Livre II,

$(0,\ 1)=-{\frac {m'n{\rm {C}}}{2}},\qquad {\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}={\frac {m'n{\rm {D}}}{2}},$

partant,

${\frac {d(2rd\delta r+dr\delta r)}{r^{2}dv}}={\frac {1}{2}}dt\left[(0,\ 1)\left(h^{2}+l^{2}\right)-{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}(hh'+ll')\right].$

Considérons ensuite le terme ${\frac {3dt^{2}\int \delta d{\rm {R}}}{r^{2}dv}}$ de la même formule (T). Si l’on n’a égard qu’aux quantités séculaires dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, on aura, par l’analyse du numéro précédent,

${\begin{aligned}\delta {\rm {R}}&={\frac {m'}{8}}\left(h^{2}+l^{2}\right)\left(2a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)\\\\&+{\frac {m'}{8}}\left(h'^{2}+l'^{2}\right)\left(2a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a'}}+a'^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a'^{2}}}\right)\\\\&+{\frac {m'}{4}}(hh'+ll')\left(4{\rm {A}}^{(1)}+2a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}+2a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a'}}+aa'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a\partial a'}}\right)\\\\&+{\frac {m'}{8}}aa'{\rm {B}}^{(1)}\left[(p'-p)^{2}+(q'-q)^{2}\right],\end{aligned}}$

$p,p',q,q'$ exprimant les mêmes choses que dans le n^o  51 du Livre II.

De là il est facile de conclure, par les n^os 55 et 59 du Livre II,

${\begin{aligned}an\delta {\rm {R}}=&-{\frac {1}{2}}(0,\ 1)\left(h^{2}+l^{2}+h'^{2}+l'^{2}\right)+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}(hh'+ll')\\&+{\frac {1}{2}}(0,\ 1)\left[(p'-p)^{2}+(q'-q)^{2}\right],\end{aligned}}$

ce qui donne

${\begin{aligned}an\operatorname {d} \delta {\rm {R}}=&dh\left[-(0,\ 1)h+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}h'\right]+dl\left[-(0,\ 1)l+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}l'\right]\\&+(0,\ 1)dp(p-p')+(0,\ 1)dq(q-q').\end{aligned}}$

Le second membre de cette équation devient nul, en vertu des équa-