étant supposé positif et plus grand que zéro dans ces trois dernières expressions. Dans le cas de 
il faut ajouter à 
le terme 
Il est plus commode pour les calculs numériques de n’avoir dans les formules que les différences relatives à l’une ou à l’autre des deux quantités 
et 
On trouve alors, par le no 49 du Livre II,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {M}}^{(1)}=-{\frac {m'}{4}}\left[(2i-2)(2i-1){\rm {A}}^{(i-1)}+2(2i-1)a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i-1)}}{\partial a}}+a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i-1)}}{\partial a^{2}}}\right],\\&{\rm {M}}^{(2)}=\,\ \ {\frac {m'}{8}}\left[(4i^{2}-7i+2){\rm {A}}^{(i-2)}+2(2i-1)a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i-2)}}{\partial a}}+a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i-2)}}{\partial a^{2}}}\right],\\&{\rm {N}}^{(1)}=\ \ \ {\frac {m'}{4}}\left[(2i-2)(2i-1){\rm {A}}^{(i-1)}-2a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i-1)}}{\partial a}}-a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i-1)}}{\partial a^{2}}}\right],\\&{\rm {N}}^{(2)}=-{\frac {m'}{4}}\left[(2i+2)(2i+1){\rm {A}}^{(i+1)}-2a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i+1)}}{\partial a}}-a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i+1)}}{\partial a^{2}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e633021a293a4e2e1e3386b1e5e3accc301871c3)
5. Le cas de 
mérite une attention particulière. Reprenons la formule (T) du no 46 du Livre II, et considérons d’abord le terme 
de l’expression de 
donnée par cette formule. On a, par le no 53 du même Livre, et en n’ayant égard qu’aux termes affectés de l’arc de cercle 
ce qui donne, en ne considérant que les termes dépendants des carrés et des produits de 
et indépendants des sinus et cosinus de 
et de ses multiples,
![{\displaystyle d(2rd\delta r+dr\delta r)=-{\frac {m'n^{2}a^{2}dt^{2}}{4}}\left[\left(h^{2}+l^{2}\right){\rm {C}}+(hh'+ll'){\rm {D}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b879cb91d731a36ba83bb47517ce9aa5ef2d8e10)
On a ensuite, par les nos 19 et 20 du Livre II,
