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Ces équations donnent, dans l’expression de $q,$ le terme constant

$-{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-f}}{\frac {\partial {\rm {D^{2}}}}{\partial a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda ,$

d’où résulte, dans la latitude $s,$l’inégalité

$-{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-f}}{\frac {\partial {\rm {D^{2}}}}{\partial a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda \sin f\upsilon ,$

ce qui est conforme au résultat du Chapitre II du Livre VII.

Le terme constant de $q$ donne, dans la fonction frac{qdp-pdq}{2}, le terme

${\frac {1}{2}}\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\partial {\rm {D^{2}}}}{\partial a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(g\upsilon -f\upsilon )\,;$

en nommant donc $d\varepsilon _{1}$ la valeur précédente de $d\varepsilon ,$ rapportée à l’écliptique, on aura

$d\varepsilon _{1}=-{\frac {19}{2}}\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\partial {\rm {D^{2}}}}{\partial a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(g\upsilon -f\upsilon ),$

ce qui donne dans $\varepsilon _{1},$ et, par conséquent, dans le mouvement de la Lune en longitude, l’inégalité

$-{\frac {19}{2}}{\frac {\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi }{g-f}}{\frac {\partial {\rm {D^{2}}}}{\partial a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \sin(g\upsilon -f\upsilon ),$

résultat entièrement conforme à celui du Chapitre II du Livre VII.

Enfin, la fonction ${\rm {R}}$ étant indéterminée, les expressions différentielles précédentes des éléments des orbites peuvent également servir à déterminer les variations qu’ils reçoivent, soit par la résistance de milieux éthérés, soit par l’impulsion de la lumière solaire, soit par les changements que la suite des temps peut apporter dans les masses du Soleil et des planètes. Il suffit pour cela de déterminer la fonction {\rm R} qui en résulte, par les considérations exposées dans le Chapitre VII du Livre X.