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Il est facile de voir que, si l’on néglige l’excentricité de l’orbite, on aura

$d\varepsilon =2a^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}ndt,$

et par conséquent, en n’ayant égard qu’au cosinus de l’angle $g\upsilon -f\upsilon ,$ et substituant $d\upsilon$ pour $ndt,$ on aura

$d\varepsilon =-10(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi ){\frac {\partial {\rm {D^{2}}}}{\partial a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma d\upsilon \cos(g\upsilon -f\upsilon ).$

La valeur de $d\varepsilon$ est ici rapportée au plan de l’orbite lunaire : pour la rapporter à l’écliptique, il faut, par le n^o 5 du Livre VI, lui ajouter la quantité ${\frac {qdp-pdq}{2}}.$ Déterminons présentement $p$ et $q.$

L’équation

$s=\gamma \sin \gamma \upsilon$

peut être mise sous cette forme

$s=\gamma \cos(g-f)\upsilon \sin f\upsilon +\gamma \sin(g-f)\upsilon \cos f\upsilon \,;$

en la comparant à celle-ci

$s=q\sin f\upsilon -p\cos f\upsilon ,$

on aura

$p=-\gamma \cos(g-f)\upsilon ,\qquad q=g\cos(g-f)\upsilon ,$

ce qui donne

${\begin{aligned}dp=&-(g-f)qd\upsilon ,\\dq=&(g-f)pd\upsilon .\end{aligned}}$

La valeur de ${\rm {R}}$ renfermant le terme $\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\partial {\rm {D^{2}}}}{\partial a^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda .q,$ elle ajoute, par les équations (5) et (6) du n^o 1, à la valeur de $dp$ le terme

$-\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\partial {\rm {D^{2}}}}{\partial a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .d\upsilon \,;$

on a ainsi les deux équations

${\begin{aligned}dp=&-(g-f)qd\upsilon -\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\partial {\rm {D^{2}}}}{\partial a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .d\upsilon ,\\dq=&\quad (g-f)pd\upsilon .\end{aligned}}$