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$f\upsilon$ étant la longitude vraie de la Lune, comptée de l’équinoxe du printemps ; $\lambda$ étant l’obliquité de l’écliptique, et $s$ étant la \operatorname{tang}ente de la latitude de la Lune.

La partie ${\rm {R}}$, dépendante de l’action du Soleil, est de la forme $r^{2}{\rm {Q,}}$ en négligeant les termes qui, dépendant de la parallaxe du Soleil, sont très-petits. On aura ainsi, à fort peu près,

${\rm {R}}=r^{2}{\rm {Q}}+\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right)+{\frac {\rm {D^{2}}}{r^{3}}}\left(\sin ^{2}\lambda \sin ^{2}f\upsilon +2s\sin \lambda \cos \lambda \sin f\upsilon -{\frac {1}{3}}\right),$

ce qui donne

$2r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=2a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}=$

$4r^{2}{\rm {Q}}-6\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{r^{3}}}\left(\sin ^{2}\lambda \sin ^{2}f\upsilon +2s\sin \lambda \cos \lambda \sin f\upsilon -{\frac {1}{3}}\right).$

Ne considérons ici que les inégalités dépendantes de l’angle $g\upsilon -f\upsilon ,\ g\upsilon$ étant ce que l’on nomme l’argument de latitude ; en sorte que l’on a à fort peu près $s=\gamma \sin g\upsilon ,\ \gamma$ étant l’inclinaison de l’orbe lunaire à l’écliptique. On aura ainsi

${\begin{aligned}{\rm {R}}=&r^{2}{\rm {Q}}+\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(g\upsilon -f\upsilon ),\\2a{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}=&4ar^{2}{\rm {Q}}-6\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(g\upsilon -f\upsilon ).\end{aligned}}$

On a vu, dans le n^o 1, que la variation de $d{\rm {R}}$ est nulle, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice ; le coefficient de $\cos(g\upsilon -f\upsilon )$ dans ${\rm {R}}$ doit donc être nul. Désignons par la caractéristique $\delta$, placée devant une fonction, la partie de cette fonction qui dépend de l’aplatissement de la Terre ; nous aurons

$0=\delta .r^{2}{\rm {Q}}+\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{3}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(g\upsilon -f\upsilon ),$

d’où l’on tire

$2\delta .a^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}=-10\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\rm {D^{2}}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda .\gamma \cos(g\upsilon -f\upsilon ).$

Reprenons maintenant l’expression de $d\varepsilon$ du n^o 1,

$d\varepsilon =-{\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial e}}+2a^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}ndt.$